Integralberechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Fr 25.03.2005 | | Autor: | dark-sea |
Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs' wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Ich finde in den Mengen meiner Mathebücher trotzdem keine Antwort auf diese Frage:
Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.
f(X)=-X+2; g(X)=X²
X1=1; X2=-2
A= [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {(X²-X+2) dx}
= [ 1/3 * [mm] x^{3} [/mm] - 1/2 * X² + 2X ] also von -2 bis 1 (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)
Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1 einsetzten und dann, was von wem abziehen?
Ich komme auf kein richtiges Ergebnis. Das Ergebnis muss 4,5 LE lauten.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Fr 25.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo dark-sea!
> Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs'
> wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Locker bleiben! das wird schon ...
> Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte
> Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.
>
> f(X)=-X+2; g(X)=X²
> X1=1; X2=-2
>
> A= [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {(X²-X+2) dx}
> = [ 1/3 * [mm]x^{3}[/mm] - 1/2 * X² + 2X ] also von -2 bis 1
> (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)
>
> Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt
> handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1
> einsetzten und dann, was von wem abziehen?
Du möchtest also den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ berechnen?
Die allgemeine Formel hierfür lautet:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
Für Deine Aufgabe heißt das:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 - \red{(}-x+2\red{)} \ dx} \ \right|$
[/mm]
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 \red{+}x \red{-}2 \ dx} \ \right|$
[/mm]
Nun also die Stammfunktion bilden. Die hast Du ja auch (fast) richtig ermittelt (nun aber mit den richtigen Vorzeichen!):
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 + x - 2 \ dx} \ \right|$
[/mm]
$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|$
[/mm]
Grundsätzlich rechnet man "obere Grenze" - "untere Grenze".
In die Stammfunktion (also den Term zwischen den beiden großen eckigen Klammern) setzt Du zunächst die obere Grenze [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1$ ein und anschließend die untere Grenze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -2$ :
$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|$
[/mm]
$A \ = \ [mm] \left| \ \left[\bruch{1}{3}*1^3 + \bruch{1}{2}*1^2 - 2*1\right] - \left[\bruch{1}{3}*(-2)^3 + \bruch{1}{2}*(-2)^2 - 2*(-2) \right] \ \right|$
[/mm]
Wenn Du diesen Ausdruck nun ausrechnest, sollte Dein gewünschtes Ergebnis von $A \ = \ 4,5 \ [mm] \red{F.E.}$ [/mm] (nicht LE !) herauskommen!
Ich hoffe, ich konnte Dir etwas weiterhelfen, sonst einfach nochmal fragen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 25.03.2005 | | Autor: | dark-sea |
> Hallo dark-sea!
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> > Hallo! Ich leide momentan (glaub ich) unter 'black outs'
> > wegen dem bevorstehenden Abi in 1 1/2 Wochen. Locker
> bleiben! das wird schon ...
>
>
>
> > Ich möchte den Integral berechnen. Nur fehlt mir der letzte
> > Schritt, um die Lösung ohne GTR berechnen zu können.
> >
> > f(X)=-X+2; g(X)=X²
> > X1=1; X2=-2
> >
> > A= [mm]\integral_{-2}^{1}[/mm] {(X²-X+2) dx}
> > = [ 1/3 * [mm]x^{3}[/mm] - 1/2 * X² + 2X ] also von -2
> bis 1
> > (soweit alles klar und stimmt auch mit dem Buch überein)
> >
> > Wie berechne ich aber nun den Flächeninhalt
> > handschriftlich, ohne GTR? Wie muss ich die -2 und die 1
> > einsetzten und dann, was von wem abziehen?
>
> Du möchtest also den Flächeninhalt zwischen den beiden
> Funktionen [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] berechnen?
>
>
> Die allgemeine Formel hierfür lautet:
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|[/mm]
>
>
> Für Deine Aufgabe heißt das:
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {g(x) - f(x) \ dx} \ \right|[/mm]
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 - \red{(}-x+2\red{)} \ dx} \ \right|[/mm]
Wieso rechnest du hier g(X)-f(X), wenn doch f(X) die obere Kurve ist? Dann müsste es doch so heißen: [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {-X+2-X² dx}
--> [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {-X²-X+2 dx} ?
Antwort von mir selber:
Es kommt aber trotzdem das selbe raus, nur bei dir wäre das Ergebnis negativ, was aber egal ist, weil ein FE ja schließlich nicht negativ sein kann. Stimmt das so?
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 \red{+}x \red{-}2 \ dx} \ \right|[/mm]
>
>
> Nun also die Stammfunktion bilden. Die hast Du ja auch
> (fast) richtig ermittelt (nun aber mit den richtigen
> Vorzeichen!):
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \integral_{-2}^{1} {x^2 + x - 2 \ dx} \ \right|[/mm]
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|[/mm]
>
>
> Grundsätzlich rechnet man "obere Grenze" - "untere
> Grenze".
>
> In die Stammfunktion (also den Term zwischen den beiden
> großen eckigen Klammern) setzt Du zunächst die obere Grenze
> [mm]x_2 \ = \ 1[/mm] ein und anschließend die untere Grenze [mm]x_1 \ = \ -2[/mm]
> :
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}x^3 + \bruch{1}{2}x^2 - 2x \right]_{-2}^{1} \ \right|[/mm]
>
> [mm]A \ = \ \left| \ \left[\bruch{1}{3}*1^3 + \bruch{1}{2}*1^2 - 2*1\right] - \left[\bruch{1}{3}*(-2)^3 + \bruch{1}{2}*(-2)^2 - 2*(-2) \right] \ \right|[/mm]
>
> Wenn Du diesen Ausdruck nun ausrechnest, sollte Dein
> gewünschtes Ergebnis von [mm]A \ = \ 4,5 \ \red{F.E.}[/mm] (nicht LE
> !) herauskommen!
>
>
> Ich hoffe, ich konnte Dir etwas weiterhelfen, sonst einfach
> nochmal fragen ...
>
> Gruß
> Loddar
>
Vielen lieben Dank
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