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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Mi 27.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Die Funktion $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] sei gegeben durch:
$$f(x)= [mm] \begin{cases}\left(x- \frac{1}{2n+1}\right)2n(2n+1), & \mbox{wenn } x \in \left[\frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n}\right) \mbox{ mit } n \in \IN \\ \left(\frac{1}{2n-1}-x\right)2n(2n-1), & \mbox{wenn } x \in \left[\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n-1}\right) \mbox{ mit } n \in \IN \\ 0, & \mbox{sonst. } \end{cases}$$
[/mm]
Geben Sie den Wert von [mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx} [/mm] an. Eine anschauliche Begründung reicht hier. |
Hallo zusammen.
Ich habe an der Aufgabe schon ein wenig gearbeitet, komme aber jetzt nicht mehr weiter. Ich hab mir mal gedacht, die Funktionsvorschrift getrost zu ignorieren... 
Es werden ja an sich einfach nur die immer schmaler werdenden Dreiecke aufsummiert. Der Flächeninhalt dieser Dreiecke lässt sich beschreiben durch
[mm] $A_{Dreieck}= \frac{\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}}{2}$ [/mm] für k [mm] \in \IN.
[/mm]
Das Integral müsste also der Grenzwert dieser Summe sein:
[mm] \sum_{k=0}^\infty{\frac{\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}}{2}}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^\infty{\frac{1}{4k^2+8k+3}}
[/mm]
Es sieht so aus, als würde diese Reihe gegen [mm] \frac{1}{2} [/mm] gehen. Aber das ist nur eine Vermutung. Kann mir jemand helfen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lieben Dank, julianta
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Ohne Gewähr:
ich bekommezu jedem n in [mm] \IN [/mm] die Dreiecksfläche [mm] \bruch{1}{4n^2-1}
[/mm]
FRED
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