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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das bestimmte Integral |
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe:
[mm]y = \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel{x^4 +1}}dx[/mm]
Mein Ansatz ist bisher die Wurzel als Ganzes zu substituieren. Wenn ich das gemacht und danach gekürzt habe, komme ich zu folgendem Ergebnis:
[mm]y= 0,25 \integral \bruch {\wurzel{x^4 +1}}{z} dx [/mm]
Hier komme ich dann aber nicht weiter. Kann es sein, dass ich vl. bis hierher schon einen Fehler gemacht habe?
Danke schonmal für eure Hilfe...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie das bestimmte Integral
> [mm]y = \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel{x^4 +1}}dx[/mm]
>
> Mein Ansatz ist bisher die Wurzel als Ganzes zu
> substituieren. Wenn ich das gemacht und danach gekürzt
> habe, komme ich zu folgendem Ergebnis:
> [mm]y= 0,25 \integral \bruch {\wurzel{x^4 +1}}{z} dx[/mm]
Soll das heißen, du hast [mm] z=\wurzel{x^4 +1} [/mm] gesetzt ?
Eine andere Substitution bietet sich hier fast
penetrant an:
[mm] z:=x^4 [/mm] +1
und etwas weiter in der Rechnung: [mm] u:=1+\wurzel{z}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
ja stimmt, das bietet sich echt an.
Wenn ich nun den Bereich unter dem Bruchstrich substituiere, also [mm]u:=1+\wurzel{z}[/mm] wie du vorgeschlagen hast komme ich ja irgendwann zu dem Punkt wo ich folgendes habe:
[mm]y = 0,25 \integral \bruch {2 \wurzel {z}}{u} [/mm]. richtig soweit? Aber substituieren kann ich jetzt ja immernoch nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon im vorigen Teil fiel mir auf, dass du nicht komplett substituierst.
Warum steht in deinem integral noch u und z ersetz doch [mm] \wurzel{z} [/mm] durch u. (ich hoffe, da wo nix steht ist ein du?)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
Ich hab als Lösung jetzt 0,5x raus. Kann mir das jemand bestätigen?
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Hallo BFreddy,
> Ich hab als Lösung jetzt 0,5x raus. Kann mir das jemand
> bestätigen?
Ich (und DERIVE) können es zumindest nicht bestätigen.
Rechne also am besten hier vor ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
alles klar erstmal danke für eure Geduld.
[mm]
y = \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel{x^4 +1}}
[/mm]
->substituieren z = [mm] x^4 [/mm] +1
[mm]
y= \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel {z}} * \bruch {dz}{4x^3}}
[/mm]
->kürzen
[mm]
y= 0,25 \integral \bruch {1}{1+ \wurzel {z}} dz
[/mm]
-> wurzel {z} substituieren
-> dz = dy * 2u
[mm]
y= 0,25 \integral \bruch {2u}{1+u} dy
[/mm]
so war meine Rechnung. Dann hatte ich einfach das u gekürzt... Danke nochmal für eure Hilfe
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Hallo nochmal,
> alles klar erstmal danke für eure Geduld.
>
>
y = [mm] \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel{x^4 +1}}
[/mm]
>
> ->substituieren $z = [mm] x^4 [/mm] +1$
>
> y= [mm] \integral \bruch {x^3}{1+ \wurzel {z}} [/mm] * [mm] \bruch {dz}{4x^3}
[/mm]
>
> ->kürzen
> [mm]
y= 0,25 \integral \bruch {1}{1+ \wurzel {z}} dz
[/mm]
> -> wurzel {z} substituieren
> -> dz = [mm] d\red{u} [/mm] * 2u
> $y= 0,25 [mm] \integral \bruch [/mm] {2u}{1+u} [mm] d\red{u}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") soweit
Nun ziehe die 2 raus, bleibt [mm] $\frac{1}{2}\int{\frac{u}{1+u} \ du}=\frac{1}{2}\int{\frac{u+1-1}{1+u} \ du}=\frac{1}{2}\int{\left(1-\frac{1}{1+u}\right) \ du}$ [/mm] ...
Hier nochmal weiter ...
> so war meine
> Rechnung. Dann hatte ich einfach das u gekürzt...
Nee, das geht nicht ...
> Danke
> nochmal für eure Hilfe
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
Aufgeleitet wäre das ja
[mm]
x - ln (1+u) [/mm]
dann mit 0,5 auflösen und rücksubstituieren:
[mm] 0.5x - 0.5 ln(1+ \wurzel {x^4+1}) [/mm]
?
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Hallo nochmal,
> Aufgeleitet
Bitte lass dieses Unwort, sage integrieren oder Stammfunktion bestimmen, aber bitte nicht das a-Wort ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Bitte!!
> wäre das ja
[mm] $\red{u} [/mm] - ln (1+u)$
Wie kommst du auf x? Du integrierst doch hier nach der Variablen u
> dann mit 0,5 auflösen und rücksubstituieren:
> [mm]0.5x - 0.5 ln(1+ \wurzel {x^4+1})[/mm]
Der hintere Teil stimmt, aber den vorderen Teil, also $u$ solltest du nochmal step-by-step resubstituieren, da ist noch was faul
> ?
LG
schachuzipus
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Hallo zum letzten Gefecht !
> > Bitte lass dieses Unwort, sage integrieren oder
> > Stammfunktion bestimmen, aber bitte nicht das a-Wort
> > Bitte!!
> wird nicht wieder vorkommen 
Dann bin ich beruhigt, ich kriege da immer so ein Herzrasen, wenn ich dieses schlimme Wort höre, fast so wie bei "Düsseld..."
Naja, lassen wir das
>
> danke das du mich nochmal darauf hingewiesen hast, dass ich
> ja nach u "integrieren" muss. jetzt wo du das sagst ist es
> logisch!
>
> also hoffentlich mein richtiges Ergebnis:
> [mm]
0,5 + \bruch {\wurzel {x^4 +1}}{2} - 0.5 ln(1+ \wurzel {x^4+1})[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, prima, wenn auch die Integrationskonstante 0,5 etwas ungewöhnlich gewählt ist, aber das steht dir ja frei
Also einen schönen Restabend noch
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 17.02.2009 | | Autor: | BFreddy |
tausend Dank an euch Drei, insbesondere dir Schachuzipus!!
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> Ich hab als Lösung jetzt 0,5x raus. Kann mir das jemand
> bestätigen?
Ob dies stimmen kann, könntest du wirklich selber
überprüfen: Was ist die Ableitung von 0.5 x ?
Und stimmt dies mit dem Integranden überein ?
Folgerung ?
Ich will dir ein bißchen auf die Spur helfen:
[mm] $\integral \bruch{x^3}{1+\wurzel{x^4+1}}\ [/mm] dx$ ist gesucht.
Erste Substitution:
$\ [mm] z=x^4+1$ $\bruch{dz}{dx}=4*x^3$ [/mm] $\ [mm] dz=4*x^3*dx$
[/mm]
Jetzt muss man alles, was mit x zu tun hatte,
durch Ausdrücke nur mit z ersetzen !
$\ [mm] \integral \bruch{x^3}{1+\wurzel{x^4+1}}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \blue{\bruch{1}{4}}*\integral \bruch{\blue{4}*x^3*dx}{1+\wurzel{x^4+1}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{4}*\integral \bruch{dz}{1+\wurzel{z}}$
[/mm]
Nun die zweite Substitution:
$\ [mm] u:=1+\wurzel{z}$ $\bruch{du}{dz}=\bruch{1}{2*\wurzel{z}}$ [/mm] $\ [mm] du=\bruch{1}{2*\wurzel{z}}*dz$
[/mm]
$\ [mm] dz=2*\wurzel{z}*du$
[/mm]
Um auch die [mm] \wurzel{z} [/mm] in dieser Formel wegzubringen,
braucht man die Gleichung [mm] u=1+\wurzel{z}\,\,, [/mm] also [mm] \wurzel{z}=u-1
[/mm]
So, nun das neue Integral mit u aufschreiben, integrieren
und dann zurucksubstituieren !
Hier zur Kontrolle die Lösung, die Mathematica liefert:
[mm] $\bruch{\wurzel{1+x^4}}{2} -\bruch{1}{2}\,Log\left[1+\wurzel{1+x^4}\right]$
[/mm]
Gruß Al-Chw.
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