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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 25.02.2014 | | Autor: | bighi |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral (wie in Beispiel 2), beachten Sie dabei die Formel von Fig. 2.
d) [mm] \integral_{0}^{2}{ e^{2x}*sin(\pi*x) dx} [/mm] |
Hallo, kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen?
Unser Lehrer hat uns zwar die Lösung gesagt, allerdings keinen Rechenweg.
In Fig. 2 Stand Folgende Formel: [mm] sin^{2}+cos^{2}=1
[/mm]
Die Formel ist halt [mm] \integral_{a}^{b}{g'(x)*h(x) dx}=[g(x)*h(x)]- \integral_{a}^{b}{g(x)*h'(x) dx}
[/mm]
Ich habe dementsprechend [mm] e^{2x} [/mm] als g' genommen und [mm] sin(\pi*x) [/mm] als h'.
Allerdings habe ich keine Idee wie ich die Formel [mm] sin^{2}+cos^{2}=1 [/mm] mit einbringen sollte, und ohne diese kam am ende bei mir [mm] 0=e^4*\pi-\pi [/mm] raus.
Die richtige Lösung wäre: [mm] (\pi/(\pi^{2}+4))*(1-e) [/mm] bzw. -12,14
Kann mir einer bitte versuchen den Rechenweg zu erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bighi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich glaube, Du verstehst den Tipp der Aufgabe falsch. Es geht hier um ![[]](/images/popup.gif) partielle Integration [mm] $(\leftarrow\text{click!})$.
> Berechnen Sie das Integral (wie in Beispiel 2), beachten
> Sie dabei die Formel von Fig. 2.
> d) [/mm] [mm]\integral_{0}^{2}{ e^{2x}*sin(\pi*x) dx}[/mm]
> Hallo, kann
> mir einer bei dieser Aufgabe helfen?
> Unser Lehrer hat uns zwar die Lösung gesagt, allerdings
> keinen Rechenweg.
> In Fig. 2 Stand Folgende Formel: [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm]
Ich sehe nicht, welchen Sinn es machen sollte, diese Formel (den sog. trigonometrischen Pythagoras) hier anzuwenden.
> Die Formel ist halt [mm]\integral_{a}^{b}{g'(x)*h(x) dx}=[g(x)*h(x)]- \integral_{a}^{b}{g(x)*h'(x) dx}[/mm]
Ja. Eben diese Vorgehensweise nennt man "partielle Integration". In Deiner Formel fehlen allerdings am ersten Term auf der rechten Seite noch die Integrationsgrenzen!
> Ich habe dementsprechend [mm]e^{2x}[/mm] als g' genommen und
> [mm]sin(\pi*x)[/mm] als h'.
Schau nochmal genau hin. Du sollst g' und h (ohne Strich) festlegen.
> Allerdings habe ich keine Idee wie ich die Formel
> [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm] mit einbringen sollte,
Wie gesagt, ich auch nicht.
> und ohne diese kam
> am ende bei mir [mm]0=e^4*\pi-\pi[/mm] raus.
Das kann ich ohne Rechnung nicht nachvollziehen. Meine sieht so aus, erstmal als unbestimmtes Integral:
Sei [mm] g'(x)=e^{2x}\;\;\Rightarrow\;\;g(x)=\bruch{1}{2}e^{2x}
[/mm]
Sei [mm] h(x)=\sin{(\pi x)}\;\;\Rightarrow\;\;h'(x)=\pi*\cos{(\pi x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int{e^{2x}\sin{(\pi x)}\;\mathrm{dx}}=\bruch{1}{2}e^{2x}\sin{(\pi x)}-\int{\bruch{1}{2}e^{2x}*\pi*\cos{(\pi x)}\;\mathrm{dx}}=\bruch{1}{2}e^{2x}\sin{(\pi x)}-\bruch{1}{2}*\pi*\int{e^{2x}*\cos{(\pi x)}\;\mathrm{dx}}
[/mm]
Beim rechten Integral habe ich nur die beiden konstanten Faktoren herausgezogen. Auf Anhieb lösbar ist es ja nun leider auch nicht.
Wenn Du nun aber das rechte Integral wieder mit partieller Integration angehst (wieder mit [mm] $g'=e^{2x}$), [/mm] dann hat Du die Lösung sehr schnell.
> Die richtige Lösung wäre: [mm](\pi/(\pi^{2}+4))*(1-e)[/mm] bzw.
> -12,14
>
> Kann mir einer bitte versuchen den Rechenweg zu erklären?
Ja, siehe oben. Du musst ihn nur noch zu Ende bringen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 26.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral (wie in Beispiel 2), beachten
> Sie dabei die Formel von Fig. 2.
> d) [mm]\integral_{0}^{2}{ e^{2x}*sin(\pi*x) dx}[/mm]
> Hallo, kann
> mir einer bei dieser Aufgabe helfen?
> Unser Lehrer hat uns zwar die Lösung gesagt, allerdings
> keinen Rechenweg.
> In Fig. 2 Stand Folgende Formel: [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm]
>
> Die Formel ist halt [mm]\integral_{a}^{b}{g'(x)*h(x) dx}=[g(x)*h(x)]- \integral_{a}^{b}{g(x)*h'(x) dx}[/mm]
>
> Ich habe dementsprechend [mm]e^{2x}[/mm] als g' genommen und
> [mm]sin(\pi*x)[/mm] als h'.
> Allerdings habe ich keine Idee wie ich die Formel
> [mm]sin^{2}+cos^{2}=1[/mm] mit einbringen sollte, und ohne diese kam
> am ende bei mir [mm]0=e^4*\pi-\pi[/mm] raus.
> Die richtige Lösung wäre: [mm](\pi/(\pi^{2}+4))*(1-e)[/mm] bzw.
> -12,14
Merkwürdig .... Was meinst Du mit "bzw" ?
ich hab raus: [mm](\pi/(\pi^{2}+4))*(1-e^4)[/mm] und das ist tatsächlich ungefähr = -12,14.
Ich habs so gemacht: zunächst ist
$ [mm] e^{2x}*sin( \pi [/mm] x)= [mm] Im(e^{(2+i \pi)x})$
[/mm]
Berechne Du nun das Integral
[mm] \integral_{0}^{2}{e^{(2+i \pi)x} dx}
[/mm]
Dann folgt:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{ e^{2x}\cdot{}sin(\pi\cdot{}x) dx}=Im( \integral_{0}^{2}{e^{(2+i \pi)x} dx}) [/mm] $
FRED
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> Kann mir einer bitte versuchen den Rechenweg zu erklären?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 26.02.2014 | | Autor: | bighi |
Danke für die Antworten, ich weiß jetzt wie es geht.
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