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| Aufgabe | die aufgabe lautet:
[mm] \integral [/mm] { [mm] \bruch{1}{1-x^4} [/mm] dx} = 1/4 * (ln (x+1)-ln(x-1)+2*arctan(x)
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ich habe die aufgabe schonmal hier gestellt,habe ein tipp bekommen,wollte darauf antworten das klappte aber nicht.ich hab das jetzt die ganze zeit versucht und ich komme einfach nicht darauf.ich verstehe den ganzen kram nicht,ich hoffe mir kann da jemand helfen, ist echt wichtig,danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chilavert!
Wie banachella in dem anderen Thread bereits schrieb, musst Du diesen Bruch einer Partialbruchzelegung unterziehen, um ihn dann integrieren zu können:
[mm] $\bruch{1}{1-x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1-x^2\right)*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-x)*(1+x)*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1-x} +\bruch{B}{1+x} +\bruch{C*x+D}{1+x^2}$
[/mm]
Nun die vier Koeffizienten A, B, C und D mittels Koeffizientenvergleich bestimmen und anschließend integrieren.
Gruß
Loddar
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wie mache ich denn so einen koeffizientenvergleich?ich versteh das absolut alles garnicht,oh man ,nach insgesamt 4 stunden für die eine aufgabe geht mir doch jetzt echt langsam die motivation verloren :-(
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Hi, chilavert,
die Frage nach dem Koeffizientenvergleich kann ich Dir zwar auch beantworten, aber ich löse diese Art Aufgaben immer folgendermaßen:
[mm] \bruch{1}{1-x^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{1-x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{1+x} [/mm] + [mm] \bruch{Cx+D}{1+x^{2}} [/mm] | * [mm] (1-x^{4})
[/mm]
1 = [mm] A*(1+x)*(1+x^{2}) [/mm] + [mm] B*(1-x)*(1+x^{2}) [/mm] + (Cx+D)*(1-x)(1+x)
Und nun setzt Du nacheinander 4 beliebige Zahlen für x ein und berechnest die Konstanten. Am besten nimmt man solche x, für die auf der rechten Seite möglichst viel wegfällt, z.B.:
(I) x = -1: 1 = A*0 + B*2*2 + (-C+D)*2*0,
also: 1 = 4B bzw.: B = 0,25
(II) x = 1: 1 = A*2*2 + B*0 + (C+D)*0; also: A = 0,25
(III) x=0 (und A=B=0,25 werden gleich berücksichtigt!):
1 = 0,25 +0,25 +D; also: D = 0,5.
(IV) x = 2:
1 = 0,25*15 + 0,25*(-5) +(2C+0,5)*(-3); also: C=0
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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danke, da wäre ich im leben ja nicht drauf gekommen.ist das so nun fertig?oder muss ich das noch integrieren?wenn ja könntest du mir das nochmal erklären?dann kann ich mich nämlich mit der lösung dieser aufgabe an die anderen aufgaben machen und imemr vergleichen was man machen muss,wäre super
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Hi, chilavert,
> danke, da wäre ich im leben ja nicht drauf gekommen.ist das
> so nun fertig?oder muss ich das noch integrieren?
Klar musst Du nun noch integrieren! Die Partialbruchzerlegung (PBZ) vereinfacht nur den Integranden, löst nicht das Integral!
Also: Was weißt Du bisher?
[mm] \bruch{1}{1-x^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{0,25}{1-x} [/mm] + [mm] \bruch{0,25}{1+x} [/mm] + [mm] \bruch{0,5}{1+x^{2}}
[/mm]
oder auch:
[mm] \bruch{1}{1-x^{4}} [/mm] = [mm] -0,25*\bruch{1}{x-1} [/mm] + [mm] 0,25*\bruch{1}{x+1} [/mm] + [mm] 0,5*\bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Nun zum Integral:
In der Formelsammlung findest Du zwei wichtige Formeln:
(1) [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = ln|f(x)| + c.
Die Formel gilt also dann, wenn der Zähler des zu integrierenden Terms gleich der Ableitung des Nenners ist.
Dies ist bei den ersten beiden Brüchen unserer PBZ der Fall (x-1 gibt abgeleitet 1, x+1 gibt abgeleitet auch 1)
(2) [mm] \integral{\bruch{1}{1+x^{2}}dx} [/mm] = arctan(x) + c
Auf Dein Beispiel angewandt ergibt sich demnach:
-0,25*ln|x-1| + 0,25*ln|x+1| + 0,5*arctan(x) + c
Nun kannst Du noch - wenn Du möchtest -
0,25 ausklammern;
dann ergibt sich genau das von Dir gewünschte Ergebnis.
mfG!
Zwerglein
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