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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] $\integral_{a}^{b}{x^2 \ dx} [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} x^2(x_i [/mm] - [mm] x_{i-1})$ [/mm] mit [mm] $x_i [/mm] = i/n *a$ |
Hallo,
ich hoff mir kann jemand schnellstmöglich bei dieser Aufgabe weiterhelfen, da wir die Lösung bald abgeben müssen und ich keine Ahnung hab, wie ich sie Aufgabe lösen soll.
Vielen Dank,
Sportsprinter
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Hallo Sportsprinter!
> Berechnen Sie [mm]\integral_{a}^{b}{x^2 \ dx} := \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} x^2(x_i - x_{i-1})[/mm] mit [mm]x_i = i/n *a[/mm]
Ich nehme mal an, es muss auch bei dem Quadrat in der Summe ein $x_$ mit Index $i_$ sein, oder?
[mm]\integral_{a}^{b}{x^2 \ dx} := \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} x_{\red{i}}^2(x_i - x_{i-1})[/mm]
Stimmen denn auch die beiden Integrationsgrenzen mit $a_$ und $b_$ ? Ich habe den Verdacht, dass die richtigen Grenzen $0_$ und $a_$ sein sollen, oder?
Anderenfalls stimmt die Definition [mm] $x_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{i}{n}*a$ [/mm] nicht ...
Setze hier nun konsequent die Definition [mm] $x_i [/mm] \ := \ [mm] \bruch{a}{n}*i$ [/mm] ein. Anschließend alles vor das Summenzeichen ziehen, was unabhängig ist von $i_$ .
Damit sollte dann eine Reihe der Quadratzahlen auftauchen, die man dann formelmäßig folgendermaßen umschreiben kann:
[mm] $1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
Anschließend die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] sollte dann das bekannte Ergebnis [mm] $\bruch{1}{3}a^3$ [/mm] liefern (vorausgesetzt, die Grenzen lauten von $0_$ bis $a_$ ).
Gruß vom
Roadrunner
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