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| Aufgabe | Sei [mm] G=\IC\backslash\{iy\in\IC| |y|\ge1,y\in\IR\} [/mm] und
f: [mm] \IC\backslash\{\pm\}\to\IC,
[/mm]
f(z)= [mm] \bruch{1}{1+z^2}
[/mm]
Bestimme eine Stammfunktion von f|G.
Besitzt f eine Stammfunktion auf [mm] \IC\backslash\{\pm\}?
[/mm]
Berechne:
[mm] i)\integral_^{|z-i|=1}{f(z) dz}
[/mm]
[mm] ii)\integral_^{|z+i|=1}{f(z) dz}
[/mm]
[mm] iii)\integral_^{|z|=2}{f(z) dz}, [/mm] |
Hallo!
Ich hab mich ein bisschen an dieser Aufgabe versucht. Vielleicht könnte sich das jemand mal angucken!
für die Stammfunktion hab ich mir folgendes überlegt:
[mm] \bruch{1}{2z} log(1+z^2)
[/mm]
für die berechnung der Integrale hab ich die Cauchy- Integralformel verwendet:
der Nenner [mm] 1+z^2 [/mm] hat die beiden Nullstellen [mm] \pmi
[/mm]
zu i) nur -i liegt im Inneren des Integralweges. die Funktion ist
[mm] f(z)=\bruch{1}{z-i} [/mm] ist daher in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe B1(+i)={|z-i|=1} holomorph. Die cauchy-Integralformel liefert
[mm] \integral_^{|z-i|=1}{ \bruch{1}{1+z^2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral \bruch{f(z)dz}{z+i}= 2\pii [/mm] f(-i) = [mm] -\pi
[/mm]
ii)zu i) nur +i liegt im Inneren des Integralweges. die Funktion ist
[mm] f(z)=\bruch{1}{z+i} [/mm] ist daher in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe B1(-i)={|z+i|=1} holomorph. Die cauchy-Integralformel liefert
[mm] \integral_^{|z+i|=1}{ \bruch{1}{1+z^2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral \bruch{f(z)dz}{z-i}= 2\pii [/mm] f(-i) = [mm] +\pi
[/mm]
iii) liegen hier +i und -i im Inneren des Integralweges? wie geht man da vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Do 14.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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