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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Di 12.05.2009 | | Autor: | Picassine |
| Aufgabe | Sei [mm] G=\IC\backslash\{iy\in\IC| |y|\ge1,y\in\IR\} [/mm] und
f: [mm] \IC\backslash\{\pm\}\to\IC,
[/mm]
f(z)= [mm] \bruch{1}{1+z^2}
[/mm]
Bestimme eine Stammfunktion von f|G.
Besitzt f eine Stammfunktion auf [mm] \IC\backslash\{\pm\}?
[/mm]
Berechne:
[mm] i)\integral_^{|z-i|=1} [/mm] f(z) dz
[mm] ii)\integral_^{|z+i|=1} [/mm] f(z) dz
[mm] iii)\integral_^{|z|=2} [/mm] f(z) dz |
Hallo!
Ich hab mich ein bisschen an dieser Aufgabe versucht. Vielleicht könnte sich das jemand mal angucken!
für die Stammfunktion hab ich mir folgendes überlegt:
[mm] \bruch{1}{2z} log(1+z^2)
[/mm]
für die berechnung der Integrale hab ich die Cauchy- Integralformel verwendet:
der Nenner [mm] 1+z^2 [/mm] hat die beiden Nullstellen [mm] \pmi
[/mm]
zu i) nur -i liegt im Inneren des Integralweges. die Funktion ist
[mm] f(z)=\bruch{1}{z-i} [/mm] ist daher in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe B1(+i)={|z-i|=1} holomorph. Die cauchy-Integralformel liefert
[mm] \integral_^{|z-i|=1} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+z^2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral \bruch{f(z)dz}{z+i}= 2\pii [/mm] f(-i) = [mm] -\pi
[/mm]
ii)zu i) nur +i liegt im Inneren des Integralweges. die Funktion ist
[mm] f(z)=\bruch{1}{z+i} [/mm] ist daher in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe B1(-i)={|z+i|=1} holomorph. Die cauchy-Integralformel liefert
[mm] \integral_^{|z+i|=1} [/mm] { [mm] \bruch{1}{1+z^2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral \bruch{f(z)dz}{z-i}= 2\pii [/mm] f(-i) = [mm] +\pi
[/mm]
iii) liegen hier +i und -i im Inneren des Integralweges? wie geht man da vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 12.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Das dritte Integral ist die Summe der ersten beiden. Überlege dir wie du den Weg auf [mm] $\partial B_2(0)$ [/mm] aus den anderen beiden plus gewisse geschlossene Kurven, entlang derer das Integral verschwindet, darstellen kannst.
Gruß, Robert
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Was ist mit dem Rest? Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Stammfkt ist sehr falsch. Differenzier sie mal, aber nach der Produktregel!
du kannst aber den Nenner in linearfaktoren zelegen und Partialbruchzerlegung machen.
gruss leduart
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Was meinst du zu den restlichen Überlegungen?
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ich habe jetzt folgende Stammfunktion ermittelt:
[mm] \bruch{1}{2i} [/mm] log(1+iz) - [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] log ( 1-iz)
Stimmt das jetzt? Hab eingesehen, dass die andere ganz schön falsch war 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig als Stammfkt. aber vorsicht lnz ist nicht eindeutig.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich kann Dir die Aussage von Leduart nur sehr ans Herzen legen. Genauer meine ich: VERGISS DIE STAMMFUNKTION! Der Logarithmus bringt im Komplexen zu viel Komplikationen mit sich wie z.B. Definitionsbereich, läuft die Kurve innerhalb des Definitionsbereich.
1. Schritt: Partialbruchzerlegung: Finde [mm] $A,B\in\IC$ [/mm] mit
[mm] $\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}\overset{!}{=}\frac{A}{(z+i)}+\frac{B}{(z-i)}$
[/mm]
2. Schritt: Berechne die resultierenden Kurvenintegrale:
[mm] $\oint_{|z-i|=1}\frac{A}{(z+i)}\,dz$
[/mm]
[mm] $\oint_{|z-i|=1}\frac{B}{(z-i)}\,dz$
[/mm]
Dazu verwende die Cauchysche Integralformel (für Kreisscheiben) und den Cauchyschen Integralsatz (für Kreisscheiben). Welche Du von den beiden Sätzen auf welchens der obigen zwei Integrale anwenden musst, überlege Dir bitte selbst (Hinweis: Siehe Dir die Voraussetzungen der Integralformel und des Integralsatzes an). Das Ergebnis erhälst Du dann durch
[mm] $\oint_{|z-i|=1}\frac{1}{z^2+1}\,dz=\oint_{|z-i|=1}\frac{A}{(z+i)}\,dz+\oint_{|z-i|=1}\frac{B}{(z-i)}\,dz$
[/mm]
Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft.
Gruß Denny
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Brauch ich denn die Stammfunktion überhaupt bei der Cauchy integrationsformel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Brauch ich denn die Stammfunktion überhaupt bei der Cauchy
> integrationsformel?
Nein, siehe doch auch mal
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel
Du musst nun lediglich die Voraussetzungen der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben überprüfen. Für Deine Berechnung hilft Dir die mit [mm] $2\pi [/mm] i$ durchmultiplizierte Form
[mm] $\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta=2\pi i\cdot [/mm] f(z)$
Gruß Denny
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Also liegen hier +i und -i im Integrationsweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Also liegen hier +i und -i im Integrationsweg?
Okay, gehen wir Deine drei Kreiskurven durch und untersuchen, ob sich [mm] $\pm [/mm] i$ im Inneren befindet:
i) $|z-i|=1$:
Diese Kurve beschreibt einen Kreis mit Zentrum $i$ und Radius $1$, d.h. $i$ liegt darin, $-i$ liegt außerhalb. Das erkennst Du auch daran, dass $|i-i|=0<1$ und $|-i-i|=2>1$ gilt.
ii) $|z+i|=|z-(-i)|=1$:
Diese Kurve beschreibt einen Kreis mit Zentrum $-i$ und Radius $1$, d.h. $-i$ liegt darin, $i$ liegt außerhalb. Das erkennst Du auch daran, dass $|-i+i|=0<1$ und $|i+i|=2>1$ gilt.
iii) $|z|=|z-0|=2$:
Diese Kurve beschreibt einen Kreis mit Zentrum $0$ und Radius $2$, d.h. $-i$ und $i$ liegt beide darin. Das erkennst Du auch daran, dass $|i|=1<2$ und $|-i|=1<2$ gilt.
Gruß Denny
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