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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
Ich habe mal wieder eine Frage:
Berechnen Sie die Integrale: [mm] I_{n} := \integral_{0}^{\pi/2} {\sin^{n}x dx} , n \in \IN. [/mm]
Ich habe ersteinmal die Integrale bis n = 4 berechnet, in der Hoffnung irgendein "Muster" zu erkennen......
[mm] I_{1} = 1\quad I_{2} = \bruch{\pi}{4}\quad I_{3} = \bruch{2}{3}\quad I_{4} = \bruch{3\pi}{16}
[/mm]
Leider erkenne ich nicht wirklich etwas.
Oder sollte man bei dieser Aufgabe die Integrale einfach "nur" rekusiv aufschreiben?
Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben oder eine bessere Methode um diese Integrale zu berechnen.
Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samoth!
Versuche, [mm] $I_{n+2}$ [/mm] durch [mm] $I_n$ [/mm] auszudrücken. Unter Verwendung der von dir schon berechneten Werte für [mm] $I_0$ [/mm] und [mm] $I_1$ [/mm] gelangst du dann leicht zu einer expliziten Darstellung der [mm] $I_{2n}$ [/mm] und [mm] $I_{2n+1}$. [/mm]
Versuch' es mal und frage sonst nach.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Danke für deine schnelle Antwort.
Ich kriege es aber immer noch nicht hin.
Kannst du mir vielleicht nochmal weiterhelfen?
Viele Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 So 17.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samoth.
Woran scheitert es? Wie MathePower schon sagte, ist es hier notwendig, partiell zu integrieren. Du solltest dann durch einige Umformungen einen Term für [mm] $I_{n+2}$ [/mm] finden, der [mm] $I_{n}$ [/mm] beinhaltet. Versuche dies bitte und gib, wenn es weitere Probleme gibt, die bisherige Rechnung an, damit wir an ihr anknüpfen können.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 17.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo Hanno,
also ich hatte ja schon partiell integriet um die Integrale bis n = 5 zu berechnen. Das habe ich jetzt mal auf eine reine "cos x-Form" gebracht
[mm]
I_{1} = -\cos x \quad I_{3} = \bruch{ \cos^{3}x - 3\cos x }{3} \quad I_{5} = \bruch{ -\cos^{5}x + 2\\cos^{2}x - \cos x}{5} + \bruch{ 4(\cos^{3}x - 3\cos x) }{15} [/mm]
in der Hoffnung voran zu kommen, aber es will mir nicht gelingen [mm] I_{n}[/mm] durch [mm] I_{n+2} [/mm] darzustellen.
Wie kann man hier vorgehen?
Viele Grüße,
Samoth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 17.04.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samoth!
Hier der besagte Schritt:
[mm] $\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}(x) dx=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-1}(x)\cdot [/mm] sin(x) [mm] dx=-\left[ sin^{n-1}(x)\cdot cos(x)\right]\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2}(x) cos^2(x) [/mm] dx$
[mm] $=(n-1)\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2}(x)(1-sin^2(x))dx=(n-1)\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2}(x) dx-(n-1)\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}(x) [/mm] dx$
[mm] $\gdw \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}(x) dx=\frac{n-1}{n}\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n-2}(x) [/mm] dx$
Durch [mm] $I_n$ [/mm] ausgedrückt bedeutet dies [mm] $I_{n+2}=\frac{n-1}{n} I_n$. [/mm] Wenn du nun [mm] $I_0$ [/mm] und [mm] $I_1$ [/mm] berechnest, erhältst du leicht zwei Produktformeln für [mm] $I_{2n}$ [/mm] und [mm] $I_{2n+1}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Samoth |
Danke für die Hilfe !
Ich habe euch die ganze Zeit falsch verstanden, was die Entwicklung von
[mm] I_{n+2} [/mm] betraf....
Aber jetzt habe ich es geschnallt :)
Nochmals vielen Dank!
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Hallo Samoth,
versuche es mal mit partieller Integration. Dann wirst Du schon ein Bildungsgesetz für den Wert der Integrale erkennen.
Gruß
MathePower
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