Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}, [/mm] A=[-1,1]x[0,1]
b) [mm] \integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}, [/mm] A ist inneres der Ellipse [mm] 4x^2+y^2 [/mm] =4 |
Hallo!
Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
[mm] \integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{A}^{}{x^2 y dx dy}=\integral_{-1}^{0}{x^2 dx} \integral_{1}^{1}{y dy}
[/mm]
Ich muss doch das Integral aufspalten in einen "x Integral" und y Integral. Bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher. Aber ich integriere doch erst über y und dann über x...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
>
> a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist inneres der Ellipse
> [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> Hallo!
>
> Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
>
> [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2 y dx dy}=\integral_{-1}^{0}{x^2 dx} \integral_{1}^{1}{y dy}[/mm]
>
> Ich muss doch das Integral aufspalten in einen "x Integral"
> und y Integral. Bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher.
Es ist doch A=[-1,1]x[0,1] , also x [mm] \in [/mm] [-1,1] und y [mm] \in [/mm] [0,1]
> Aber ich integriere doch erst über y und dann über x...
Bei dieser Aufgabe ist das wurscht (Fubini)
FRED
>
> Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> >
> > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist inneres der
> Ellipse
> > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> > Hallo!
> >
> > Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
> >
> > [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2 y dx dy}=\integral_{-1}^{0}{x^2 dx} \integral_{1}^{1}{y dy}[/mm]
>
> >
> > Ich muss doch das Integral aufspalten in einen "x Integral"
> > und y Integral. Bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher.
>
> Es ist doch A=[-1,1]x[0,1] , also x [mm]\in[/mm] [-1,1] und y [mm]\in[/mm]
> [0,1]
>
>
>
>
> > Aber ich integriere doch erst über y und dann über x...
>
>
> Bei dieser Aufgabe ist das wurscht (Fubini)
>
> FRED
> >
> > Danke!
Hallo!
Also habe ich
[mm] \integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] [/mm] A=[-1,1]x[0,1]
[mm] =\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{A}^{}{x^2y dxdy}=\integral_{-1}^{1}{x^2dx} \integral_{0}^{1}{y dy} [/mm] = [mm] (\frac{1}{3} [/mm] - [mm] \frac{-1}{3})*(\frac{1}{2}-0)=\frac{2}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3} [/mm] FE
Dürfte doch so stimmen!? Wie bekomme ich den die Grenzen in dem Formeleditor hin? Also wenn ich die Stammfunktion bestimmt habe -> Grenzen einsetzen... Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > >
> > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist inneres der
> > Ellipse
> > > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> > > Hallo!
> > >
> > > Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
> > >
> > > [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2 y dx dy}=\integral_{-1}^{0}{x^2 dx} \integral_{1}^{1}{y dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich muss doch das Integral aufspalten in einen "x Integral"
> > > und y Integral. Bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher.
> >
> > Es ist doch A=[-1,1]x[0,1] , also x [mm]\in[/mm] [-1,1] und y [mm]\in[/mm]
> > [0,1]
> >
> >
> >
> >
> > > Aber ich integriere doch erst über y und dann über x...
> >
> >
> > Bei dieser Aufgabe ist das wurscht (Fubini)
> >
> > FRED
> > >
> > > Danke!
>
> Hallo!
>
> Also habe ich
>
> [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm][/mm] A=[-1,1]x[0,1]
>
> [mm]=\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2y dxdy}=\integral_{-1}^{1}{x^2dx} \integral_{0}^{1}{y dy}[/mm]
> = [mm](\frac{1}{3}[/mm] -
> [mm]\frac{-1}{3})*(\frac{1}{2}-0)=\frac{2}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3}[/mm]
> FE
>
> Dürfte doch so stimmen!?
Stimmt.
> Wie bekomme ich den die Grenzen
> in dem Formeleditor hin? Also wenn ich die Stammfunktion
> bestimmt habe -> Grenzen einsetzen... Danke!
Ich mach das immer so: $[bla .. [mm] blubber]_a^b$
[/mm]
Schau Dir den Quelltext an
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > > >
> > > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist inneres
> der
> > > Ellipse
> > > > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > Könnt ihr mir hier weiterhelfen?
> > > >
> > > > [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2 y dx dy}=\integral_{-1}^{0}{x^2 dx} \integral_{1}^{1}{y dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich muss doch das Integral aufspalten in einen "x Integral"
> > > > und y Integral. Bei den Grenzen bin ich mir nicht sicher.
> > >
> > > Es ist doch A=[-1,1]x[0,1] , also x [mm]\in[/mm] [-1,1] und y [mm]\in[/mm]
> > > [0,1]
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > Aber ich integriere doch erst über y und dann über x...
> > >
> > >
> > > Bei dieser Aufgabe ist das wurscht (Fubini)
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > Danke!
> >
> > Hallo!
> >
> > Also habe ich
> >
> > [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm][/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> >
> > [mm]=\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)}[/mm] = [mm]\integral_{A}^{}{x^2y dxdy}=\integral_{-1}^{1}{x^2dx} \integral_{0}^{1}{y dy}[/mm]
> > = [mm](\frac{1}{3}[/mm] -
> >
> [mm]\frac{-1}{3})*(\frac{1}{2}-0)=\frac{2}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3}[/mm]
> > FE
> >
> > Dürfte doch so stimmen!?
>
> Stimmt.
>
> > Wie bekomme ich den die Grenzen
> > in dem Formeleditor hin? Also wenn ich die Stammfunktion
> > bestimmt habe -> Grenzen einsetzen... Danke!
>
>
> Ich mach das immer so: [mm][bla .. blubber]_a^b[/mm]
>
>
> Schau Dir den Quelltext an
>
> FRED
Ok Danke!
Bei b) habe ich folgende:
b) [mm] \integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},A [/mm] ist inneres der Ellipse
[mm] 4x^2+y^2 [/mm] =4
[mm] 4x^2+y^2=4 \gdw x=\wurzel{1-y^2}
[/mm]
[mm] 4x^2+y^2=4 \gdw y=\wurzel{4-4x^2}
[/mm]
-> [mm] \integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}=\integral_{\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{4-4x^2}}{y^2 dx dy} [/mm]
Stimmt das bisher so? Wenn ja, was mache ich denn mit der integration von x. Es kommt ja kein x vor?! Fällt das einfach weg?
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> > > > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > > > >
> > > > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist inneres
> Bei b) habe ich folgende:
>
> b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},A[/mm] ist inneres der Ellipse
> [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
>
> [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
Das stimmt nicht:
[mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\red{\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{\red{4}-y^2}[/mm]
> [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\wurzel{4-4x^2}[/mm]
Hier ebenso:
[mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\red{\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
>
> -> [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}=\integral_{\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{4-4x^2}}{y^2 dx dy}[/mm]
>
> Stimmt das bisher so? Wenn ja, was mache ich denn mit der
> integration von x. Es kommt ja kein x vor?! Fällt das
> einfach weg?
Da Du Dich auf die Integrationsreihenfolge dx dy festgelegt hast,
lautet hier das zu berechnende Integral wie folgt:
[mm]\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{ \integral_{x_{1}\left(y\right)}^{x_{2}\left(y\right)} {y^{2} \ dx }\ dy}[/mm]
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > > > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > > > > >
> > > > > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist
> inneres
>
> > Bei b) habe ich folgende:
> >
> > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},A[/mm] ist inneres der Ellipse
> > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> >
> > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht:
>
> [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\red{\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{\red{4}-y^2}[/mm]
>
>
> > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\wurzel{4-4x^2}[/mm]
>
>
> Hier ebenso:
>
> [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\red{\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
>
>
> >
> > -> [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}=\integral_{\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{4-4x^2}}{y^2 dx dy}[/mm]
> >
> > Stimmt das bisher so? Wenn ja, was mache ich denn mit der
> > integration von x. Es kommt ja kein x vor?! Fällt das
> > einfach weg?
>
>
> Da Du Dich auf die Integrationsreihenfolge dx dy festgelegt
> hast,
> lautet hier das zu berechnende Integral wie folgt:
>
> [mm]{\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{ \integral_{x_{1}\left(y\right)}^{x_{2}\left(y\right)} {y^{2} \ dx }\ dy}[/mm]
>
>
> >
> > Grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo
also wenn ich die integration von x und y vertausche, komme ich glaub ich - besser zu recht.
[mm] {\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}({\integral_{y_1}^{y_2}}y^2 [/mm] dy) dx = [mm] {\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}([\frac{y^3}{3}]_{-\wurzel{4-4x^2}}^{\wurzel{4-4x^2}})dx [/mm] = [mm] {\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}}dx
[/mm]
ist das bis hierher richtig?
Gruß!
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > > > > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > > > > > >
> > > > > > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > > > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A ist
> > inneres
> >
> > > Bei b) habe ich folgende:
> > >
> > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},A[/mm] ist inneres der Ellipse
> > > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> > >
> > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
> >
> >
> > Das stimmt nicht:
> >
> > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\red{\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{\red{4}-y^2}[/mm]
>
> >
> >
> > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> >
> >
> > Hier ebenso:
> >
> > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\red{\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > -> [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}=\integral_{\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{4-4x^2}}{y^2 dx dy}[/mm]
> > >
> > > Stimmt das bisher so? Wenn ja, was mache ich denn mit der
> > > integration von x. Es kommt ja kein x vor?! Fällt das
> > > einfach weg?
> >
> >
> > Da Du Dich auf die Integrationsreihenfolge dx dy festgelegt
> > hast,
> > lautet hier das zu berechnende Integral wie folgt:
> >
> > [mm]{\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{ \integral_{x_{1}\left(y\right)}^{x_{2}\left(y\right)} {y^{2} \ dx }\ dy}[/mm]
>
> >
> >
> > >
> > > Grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Hallo
>
> also wenn ich die integration von x und y vertausche, komme
> ich glaub ich - besser zu recht.
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}({\integral_{y_1}^{y_2}}y^2[/mm]
> dy) dx =
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}([\frac{y^3}{3}]_{-\wurzel{4-4x^2}}^{\wurzel{4-4x^2}})dx[/mm]
> =
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}}dx[/mm]
>
> ist das bis hierher richtig?
Ja. Über die Grenzen mußt Du Dir noch Gedanken machen.
Jetzt mußt Du das Integral
[mm]{\integral_{x_1}^{x_2}}\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}}dx[/mm]
berechnen.
>
> Gruß!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Do 10.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > > > > > > > Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> > > > > > > >
> > > > > > > > a) [mm]\integral_{A}^{}{x^2y d(x,y)},[/mm] A=[-1,1]x[0,1]
> > > > > > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},[/mm] A
> ist
> > > inneres
> > >
> > > > Bei b) habe ich folgende:
> > > >
> > > > b) [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)},A[/mm] ist inneres der Ellipse
> > > > [mm]4x^2+y^2[/mm] =4
> > > >
> > > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Das stimmt nicht:
> > >
> > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw x=\red{\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{\red{4}-y^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Hier ebenso:
> > >
> > > [mm]4x^2+y^2=4 \gdw y=\red{\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > -> [mm]\integral_{A}^{}{y^2 d(x,y)}=\integral_{\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{4-4x^2}}{y^2 dx dy}[/mm]
> > > >
> > > > Stimmt das bisher so? Wenn ja, was mache ich denn mit der
> > > > integration von x. Es kommt ja kein x vor?! Fällt das
> > > > einfach weg?
> > >
> > >
> > > Da Du Dich auf die Integrationsreihenfolge dx dy festgelegt
> > > hast,
> > > lautet hier das zu berechnende Integral wie folgt:
> > >
> > > [mm]{\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{ \integral_{x_{1}\left(y\right)}^{x_{2}\left(y\right)} {y^{2} \ dx }\ dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > >
> > > > Grüße
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> > Hallo
> >
> > also wenn ich die integration von x und y vertausche, komme
> > ich glaub ich - besser zu recht.
> >
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}({\integral_{y_1}^{y_2}}y^2[/mm]
> > dy) dx =
> >
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}([\frac{y^3}{3}]_{-\wurzel{4-4x^2}}^{\wurzel{4-4x^2}})dx[/mm]
> > =
> >
> [mm]{\integral_{x_1(y)}^{x_2(y)}}\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}}dx[/mm]
> >
> > ist das bis hierher richtig?
>
>
> Ja. Über die Grenzen mußt Du Dir noch Gedanken machen.
>
> Jetzt mußt Du das Integral
>
> [mm]{\integral_{x_1}^{x_2}}\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}}dx[/mm]
>
> berechnen.
>
>
> >
> > Gruß!
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo!
also wir haben ja
[mm] x=4x^2+y^2=4 \gdw x={\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{4-y^2}
[/mm]
[mm] y=4x^2+y^2=4 \gdw y={\pm}\wurzel{4-4x^2}
[/mm]
nun gilt ja [mm] x_2(y) [/mm] und [mm] x_1(y)
[/mm]
[mm] x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4-\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{-4x^2}}= [/mm] Wurzel nicht auflösbar -> [mm] x_1(y)=0
[/mm]
[mm] x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4+\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{8-4x^2}}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke und Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Do 10.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo!
>
> also wir haben ja
>
> [mm]x=4x^2+y^2=4 \gdw x={\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{4-y^2}[/mm]
>
> [mm]y=4x^2+y^2=4 \gdw y={\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
>
> nun gilt ja [mm]x_2(y)[/mm] und [mm]x_1(y)[/mm]
>
> [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4-\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{-4x^2}}=[/mm]
> Wurzel nicht auflösbar -> [mm]x_1(y)=0[/mm]
Das stimmt nicht, hier hast du die Minusklammer übersehen.
[mm] \frac{1}{2}\wurzel{4-(\wurzel{4-4x^2})^2}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\wurzel{4-(4-4x^2)}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\wurzel{4-4\red{+}4x^2}
[/mm]
Ausserdem ist deine Schlussfolgerung "Wurzel nicht auflösbar" -> [mm] x_1(y)=0 [/mm] falsch.
>
> [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4+\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{8-4x^2}}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Danke und Grüße
Marius
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| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 10.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > Hallo!
> >
> > also wir haben ja
> >
> > [mm]x=4x^2+y^2=4 \gdw x={\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{4-y^2}[/mm]
> >
> > [mm]y=4x^2+y^2=4 \gdw y={\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> >
> > nun gilt ja [mm]x_2(y)[/mm] und [mm]x_1(y)[/mm]
> >
> > [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4-\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{-4x^2}}=[/mm]
> > Wurzel nicht auflösbar -> [mm]x_1(y)=0[/mm]
>
> Das stimmt nicht, hier hast du die Minusklammer
> übersehen.
>
> [mm]\frac{1}{2}\wurzel{4-(\wurzel{4-4x^2})^2}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-(4-4x^2)}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-4\red{+}4x^2}[/mm]
>
> Ausserdem ist deine Schlussfolgerung "Wurzel nicht
> auflösbar" -> [mm]x_1(y)=0[/mm] falsch.
>
> >
> > [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4+\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{8-4x^2}}[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so?
> >
> > Danke und Grüße
>
> Marius
Hallo
also sind meine Grenzen [mm] x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4x^2}=\frac{2x}{2}=x
[/mm]
und [mm] x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}. [/mm] So müsste es stimmen!
Grüße
|
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 10.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > > Hallo!
> > >
> > > also wir haben ja
> > >
> > > [mm]x=4x^2+y^2=4 \gdw x={\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{4-y^2}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]y=4x^2+y^2=4 \gdw y={\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> > >
> > > nun gilt ja [mm]x_2(y)[/mm] und [mm]x_1(y)[/mm]
> > >
> > > [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4-\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{-4x^2}}=[/mm]
> > > Wurzel nicht auflösbar -> [mm]x_1(y)=0[/mm]
> >
> > Das stimmt nicht, hier hast du die Minusklammer
> > übersehen.
> >
> > [mm]\frac{1}{2}\wurzel{4-(\wurzel{4-4x^2})^2}[/mm]
> > [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-(4-4x^2)}[/mm]
> > [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-4\red{+}4x^2}[/mm]
> >
> > Ausserdem ist deine Schlussfolgerung "Wurzel nicht
> > auflösbar" -> [mm]x_1(y)=0[/mm] falsch.
> >
> > >
> > > [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4+\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{8-4x^2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Stimmt das so?
> > >
> > > Danke und Grüße
> >
> > Marius
> Hallo
>
> also sind meine Grenzen
> [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4x^2}=\frac{2x}{2}=x[/mm]
>
> und [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}.[/mm] So müsste es
> stimmen!
Yep, das sieht besser aus. Du kannst aber bei [mm] \frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2} [/mm] noch ausklammern, also:
[mm] \frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}=\frac{1}{2}\wurzel{4(2-x^2)}=\wurzel{2-x^{2}}
[/mm]
>
> Grüße
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 10.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > >
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > also wir haben ja
> > > >
> > > > [mm]x=4x^2+y^2=4 \gdw x={\pm \bruch{1}{2}}\wurzel{4-y^2}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > [mm]y=4x^2+y^2=4 \gdw y={\pm}\wurzel{4-4x^2}[/mm]
> > > >
> > > > nun gilt ja [mm]x_2(y)[/mm] und [mm]x_1(y)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4-\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{-4x^2}}=[/mm]
> > > > Wurzel nicht auflösbar -> [mm]x_1(y)=0[/mm]
> > >
> > > Das stimmt nicht, hier hast du die Minusklammer
> > > übersehen.
> > >
> > > [mm]\frac{1}{2}\wurzel{4-(\wurzel{4-4x^2})^2}[/mm]
> > > [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-(4-4x^2)}[/mm]
> > > [mm]=\frac{1}{2}\wurzel{4-4\red{+}4x^2}[/mm]
> > >
> > > Ausserdem ist deine Schlussfolgerung "Wurzel nicht
> > > auflösbar" -> [mm]x_1(y)=0[/mm] falsch.
> > >
> > > >
> > > > [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4+\wurzel{4-4x^2}^2} =\frac{1}{2}{\wurzel{8-4x^2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Stimmt das so?
> > > >
> > > > Danke und Grüße
> > >
> > > Marius
> > Hallo
> >
> > also sind meine Grenzen
> > [mm]x_1(y)=\frac{1}{2}\wurzel{4x^2}=\frac{2x}{2}=x[/mm]
> >
> > und [mm]x_2(y)=\frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}.[/mm] So müsste es
> > stimmen!
>
>
> Yep, das sieht besser aus. Du kannst aber bei
> [mm]\frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}[/mm] noch ausklammern, also:
>
> [mm]\frac{1}{2}\wurzel{8-4x^2}=\frac{1}{2}\wurzel{4(2-x^2)}=\wurzel{2-x^{2}}[/mm]
>
> >
> > Grüße
>
> Marius
Hallo,
also habe ich:
[mm] \integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}*-\frac{2}{5}(4-4x^2)^{\frac{5}{2}} } =[{-\frac{4}{15}(4-4x^2)^{\frac{5}{2}} }]_{x}^{\wurzel{2-x^2}}
[/mm]
Bis hierhin dürfte es jetzt auch noch stimmen...
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 10.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> also habe ich:
>
> [mm]\integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}} dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}*-\frac{2}{5}(4-4x^2)^{\frac{5}{2}} } =[-\frac{4}{15}\left(4-4x^2\right)^{\frac{5}{2}} ]_{x}^{\wurzel{2-x^2}}[/mm]
>
> Bis hierhin dürfte es jetzt auch noch stimmen...
Tuts auch. Wenn du jetzt einsetzt, wird der Term nachher relativ einfach, pass nur auf die (hier zahlreichen) Minusklammern auf.
Also:
[mm] \left[-\frac{4}{15}\left(4-4x^2\right)^{\frac{5}{2}}\right]_{x}^{\wurzel{2-x^2}}
[/mm]
[mm] =\left[-\frac{4}{15}\left(4-4\red{\left(\wurzel{2-x^{2}}\right)}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right]-\left[-\frac{4}{15}\left(4-4\red{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right]
[/mm]
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 15.12.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
> > Hallo,
> >
> > also habe ich:
> >
> >
> [mm]\integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}(4-4x^2)^{\frac{3}{2}} dx}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\integral_{x}^{\wurzel{2-x^2}}{\frac{2}{3}*-\frac{2}{5}(4-4x^2)^{\frac{5}{2}} } =[-\frac{4}{15}\left(4-4x^2\right)^{\frac{5}{2}} ]_{x}^{\wurzel{2-x^2}}[/mm]
>
> >
> > Bis hierhin dürfte es jetzt auch noch stimmen...
>
> Tuts auch. Wenn du jetzt einsetzt, wird der Term nachher
> relativ einfach, pass nur auf die (hier zahlreichen)
> Minusklammern auf.
>
> Also:
>
> [mm]\left[-\frac{4}{15}\left(4-4x^2\right)^{\frac{5}{2}}\right]_{x}^{\wurzel{2-x^2}}[/mm]
>
> [mm]=\left[-\frac{4}{15}\left(4-4\red{\left(\wurzel{2-x^{2}}\right)}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right]-\left[-\frac{4}{15}\left(4-4\red{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
> >
> > Grüße
>
Hallo,
ich habe nun:
[mm]=\left[-\frac{4}{15}\left(4-4{\left({2-x^{2}}\right)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
= [mm]\left[-\frac{4}{15}\left(-4+4x^2)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
= [mm]\left[\frac{4}{15}\left(4-4x^2)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
[mm] =2[\frac{4}{15}\left(4-4x^2)^{\frac{5}{2}}\right]
[/mm]
ist dies so weit korrekt?
Grüße
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Hallo Bodo,
der Thread ist mir inzwischen zu lang, als dass ich ihn noch lesen wollte. Keine Ahnung also, wie Du bis hier gekommen bist.
Eins kann ich aber sicher sagen: wenn das das Ergebnis eines bestimmten Integrals sein soll, ist es falsch:
> [mm]=\left[-\frac{4}{15}\left(4-4{\left({2-x^{2}}\right)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
>
> =
> [mm]\left[-\frac{4}{15}\left(-4+4x^2)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Diese Umformung stimmt.
Es kann also kein Ergebnis geben. In dieser Rechnung kommen bei genauerem Hinsehen sowohl [mm] \wurzel{4x^2-4} [/mm] als auch [mm] \wurzel {-(4x^2-4)} [/mm] vor. Die können (im Reellen) nur dann zugleich existieren, wenn [mm] 4x^2=4 [/mm] ist, also [mm] x=\pm{1}.
[/mm]
Das scheint ja aber nicht so zu sein, sonst würde man ja direkt die Wurzeln weglassen und sich die Rechnung vereinfachen, oder?
> =
> [mm]\left[\frac{4}{15}\left(4-4x^2)}\right)^{\frac{5}{2}}\right]+\left[\frac{4}{15}\left(4-4{x}^2\right)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
Diese Umformung stimmt nur, wenn [mm] (-1)^{\bruch{5}{2}}=-1 [/mm] ist. Das ist aber nicht richtig.
> [mm]=2[\frac{4}{15}\left(4-4x^2)^{\frac{5}{2}}\right][/mm]
>
> ist dies so weit korrekt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein.
> Grüße
lg
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b) Hattet Ihr schon die Substitutionsregel ? Wenn ja, so substituiere
[mm] $x=r*cos(\phi), [/mm] y = [mm] 2rsin(\phi)$
[/mm]
FRED
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