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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Fr 04.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
ich habe hier folgende Integrale + Lösungen und brauchte mal ein Feedback, ob diese denn so richtig sind!
1)
[mm] \integral_{}^{} 3^{5 x} [/mm] dx = [mm] \bruch{3^{5 x}}{ln3} [/mm] +c
2)
[mm] \integral_{}^{} \bruch{xdx}{ \wurzel[3]{3-2x^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \wurzel[3]{3-2x^{2}}
[/mm]
3)
Diese Aufgabe bereitet mir noch Probleme
[mm] \integral_{9}^{4}\bruch{ \wurzel{x}}{ \wurzel{x-1}}
[/mm]
[mm] u=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{\wurzel{x}}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \integral_{9}^{4}\bruch{u}{(x-1)^\bruch{1}{2}} \bruch{du}{x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Das wars, weiter komme ich nicht.
Das [mm] u=\wurzel{x} [/mm] war vorgegeben!
besten dank schonmal
Gruß
larlib
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Hallo, larlib,
Frage1: Im Nenner die 5 vergessen!
[mm] (e^{5x} [/mm] gibt ja integriert auch: [mm] \bruch{1}{5}e^{5x}!)
[/mm]
Frage 2: Kann nicht stimmen, da die Ableitung der rechten Seite nicht den Integranden ergibt, was leicht zu erkennen ist,
da die Ableitung von [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] den Term [mm] \bruch{1}{3}*x^{-\bruch{2}{3}} [/mm] ergibt!
Frage 3: Fehler bei der Substitution:
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}}, [/mm]
daher: dx = [mm] 2*\wurzel{x}*du. [/mm]
Aber wie auch immer: Ich bezweifle, dass die vorgeschlagene Substitution gut ist! M.E. wäre u = [mm] \wurzel{x-1} [/mm] der bessere Weg (oder hast Du bei Abschreiben Zähler und Nenner vertauscht?)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Fr 04.02.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
eine alternative Substitution:
[mm]\begin{gathered}
u^{2} \; = \;x \hfill \\
2u\;du\; = \;dx \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das ist die gleiche Substition wie [mm]u\; = \;\sqrt x [/mm], bloss etwas umgeformt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 05.02.2005 | | Autor: | larlib |
Hallo,
zu Aufgabe 1)
Einsicht 
zu Aufgabe 2)
Nochmals gerechnet:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{xdx}{ \wurzel[3]{3-2x^{2}}}
[/mm]
u [mm] =3-2x^{2}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{1}
[/mm]
Substitition:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{x}{ \wurzel[3]{u}} \bruch{du}{1} [/mm] du [mm] =\bruch{x}{u^{\bruch{1}{3}}} [/mm] du
Integation:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{x}{u^{\bruch{1}{3}}} du=\bruch{x}{\bruch{4}{3}u^{\bruch{4}{3}}}
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] \bruch{x}{\bruch{4}{3}u^{\bruch{4}{3}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{\bruch{4}{3}(3-2x^{2})^{\bruch{4}{3}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x}{\bruch{4}{3} \wurzel[3]{(3-2x^{2})^{4}}}
[/mm]
Wahrscheinlich auch falsch!!!
Aber was???
Zu Aufgabe 3)
Habe mich vertan, sorry! :-(
Muss heißen:
[mm] \integral_{4}^{9} \bruch{ \wurzel{x}}{\wurzel{x}-1} [/mm]
u [mm] =\wurzel{x}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{\bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{u}{u-\bruch{1}{2} x ^{\bruch{-1}{2}}} [/mm] du
bis dahin oK?
Gruß
larlib
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Hallo, larlib,
Du hast vielleicht Nerven! Und dann lässt Du uns tagelang mit Aufgabe 3 rummachen! Jetzt versuchst Du's aber selbst erst mal 'ne Weile!
Zu Aufgabe 2: Natürlich nicht richtig! Gleiche mehrere Fehler!
Aus der Substitution [mm] u=3-2x^{2} [/mm] folgt:
[mm] \bruch{du}{dx}=-4x [/mm] (Du musst doch die Funktion u nach der Variablen x ableiten!!!)
oder: dx = [mm] \bruch{du}{-4x}
[/mm]
Eingesetzt und durch x gekürzt sowie den Faktor [mm] -\bruch{1}{4} [/mm] aus dem Integral herausgezogen, erhalten wir:
[mm] -\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{\wurzel[3]{u}}du}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{4}*\integral{u^{-\bruch{1}{3}}du}
[/mm]
(Du kannst doch keine Potenzfunktion im Nenner integrieren!!!!!)
Jetzt aber: Vergrößerung der Hochzahl um 1, neue Hochzahl in den Nenner davor:
[mm] =-\bruch{1}{4}*\bruch{3}{2}*u^{\bruch{2}{3}}+c
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] =-\bruch{3}{8}*\wurzel[3]{(3-2x^{2})^{2}}+c
[/mm]
Mit (diesmal leicht verärgerten) Grüßen!
Zwerglein
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Hallo,
warum glaube ich trotzdem, dass die Substituition [mm] u=\wurzel{x-1} [/mm] besser ist? Ganz einfach: Weil damit die Wurzel aus dem Nenner sofort wegfällt!
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x-1}}, [/mm]
daher: [mm] \bruch{dx}{\wurzel{x-1}} [/mm] = 2*du
Löst man die Substitution noch nach x auf, ergibt sich: [mm] x=u^{2}+1
[/mm]
und damit für das Integral:
[mm] 2*\integral_{\wurzel{8}}^{\wurzel{3}}{\wurzel{u^{2}+1}}du.
[/mm]
Dafür aber findet man die Stammfunktion in der Formelsammlung!
mfG!
Zwerglein
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