Integrale berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo brauche kurz zu ein aar Aufgaben kurze Tipps wie ich am besten das Integral berechne!
a) [mm] \integral_{}^{}{2x \wurzel{x-1} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{}^{}{cos(3x)*(sin(3x))^{2} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(3x)(sin(3x))^{2} dx}
[/mm]
Bitte um kurze Anmerkung mit welchem Weg ich am Besten zum Ziel komme!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei a) solltest du u=x-1 setzen. Bei b) und c) bringt dich u=sin(3x) weiter!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 01.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Irgendwie funzt das nicht!
Wenn ich bei der a) x-1 mit u ersetzte, ersezte ich dies schon am Anfang gleich oder erst im zewiten Integral
also: [mm] \integral_{}^{}{ 2x*\wurzel{x-1} dx} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{x-1} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{2*\bruch{1}{2*\wurzel{x-1}} dx}
[/mm]
also ersetze es erst jetzt im letzten Integral?
Bitte nochmal um Erklärung!
lg Surfer
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> Irgendwie funzt das nicht!
> Wenn ich bei der a) x-1 mit u ersetzte, ersezte ich dies
> schon am Anfang gleich oder erst im zewiten Integral
> also: [mm]\integral_{}^{}{ 2x*\wurzel{x-1} dx}[/mm] =
> [mm]2*\wurzel{x-1}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{2*\bruch{1}{2*\wurzel{x-1}} dx}[/mm]
>
> also ersetze es erst jetzt im letzten Integral?
Teufel hatte glaub ich Substitution gemeint, nicht partielle Integration. Und diese Substitution solltest du gleich ausführen:
[mm]\integral{ 2x*\wurzel{x-1} dx}[/mm]
Substitution: [mm]u = x-1[/mm]
Mit [mm]\bruch{du}{dx} = u' = 1 \gdw du = dx[/mm]
folgt:
[mm]= \integral{ 2x*\wurzel{u} du}[/mm]
Das x solltest du nun entsprechend der Substitution ebenfalls noch ersetzen:
[mm]u = x-1 \gdw x = u + 1[/mm]
[mm]= \integral{ 2*(u+1)*\wurzel{u} du}[/mm]
Nun den Term im Integral ausmultiplizieren und mit Potenzregel integrieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 01.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok hat geklappt, nur wie ist es jetzt bei der b) ? wwie sieht dort das Integral aus, wenn man die Substitution macht?
lg Surfer
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Du solltest dich vielleicht nochmal allgemein mit Substitution befassen, denn eine Substitution solltest du auch selbst durchführen können. Ich mach es nochmal bei b) mit Erklärungen:
[mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\cdot{}(sin(3x))^{2} dx}
[/mm]
Hier bietet sich eine Substitution
[mm]u = sin(3x)[/mm]
an. Nun können wir aber nicht einfach im Integral nur diesen Term ersetzen, denn dann hätten wir ein Integral mit zwei Variablen:
[mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\cdot{}u^{2} dx}
[/mm]
Außerdem würden wir weiterhin nach x integrieren (siehe dx), obwohl nun auch ein u drinsteht, dass irgendwie von x abhängt, und überhaupt funktioniert das alles nicht.
Deswegen ändert man bei einer Substitution auch die Variable, nach der man integriert: Wir müssen also dx irgendwie durch du ersetzen. Allerdings können wir das nicht einfach so machen; man benutzt folgende Gleichung:
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = u'
und stellt diese nach dx um:
dx = [mm] \bruch{du}{u'}.
[/mm]
(Diese umgestellt Gleichung kannst du für jede Substitution verwenden!)
Nun musst du u' herausbekommen, hier ist
[mm]u' = \left(sin(3x)\right)' = 3*cos(3x)[/mm]
Somit wissen wir nun, dass
dx = [mm] \bruch{du}{3*cos(3x)}
[/mm]
Nun ersetzen wir dx durch du im Integral:
[mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\cdot{}(sin(3x))^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{cos(3x)\cdot{}u^{2} \bruch{du}{3*cos(3x)}}
[/mm]
Und - o Wunder! - Wir können die Terme mit x vollständig eliminieren!
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{3}*u^{2} du}
[/mm]
Das muss man jetzt nur noch integrieren, und dann rücksubstituieren.
! Hätten wir unser x nicht vollständig aus dem Integral verbannen können, hätten wir unsere Substitution u = sin(3x) nach x umstellen müssen und entsprechend alle x im Integral noch durch den entstehenden Term mit u ersetzen müssen !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 01.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Wow super danke, dass ist das was mir gefehlt hat, einmal eine komplette Erklärung zum Thema!
Vielen Dank
gruß Surfer
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