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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Sa 06.06.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale
a) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}x dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{2}{x^{2} e^{- \bruch{x}{2}} dx} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich bei b) die Stammfunktion bilde
für a) hab ich die Lösung
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}x dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] \bruch{\pi}{2}+sin \bruch{\pi}{2} [/mm] cos [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( 0 + sin 0 cos 0)
= [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe
würde mich freuen, wenn jemand meine Lösung für a) kontrollieren könnte und mir zeigt, wie ich für b) die Stammfunktion bilde
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Hallo LiN24,
> Berechnen Sie folgende Integrale
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> a) [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}x dx}[/mm]
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> b) [mm]\integral_{0}^{2}{x^{2} e^{- \bruch{x}{2}} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich bei b) die Stammfunktion bilde
>
> für a) hab ich die Lösung
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}x dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( [mm]\bruch{\pi}{2}+sin \bruch{\pi}{2}[/mm] cos [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ( 0 + sin 0 cos 0)
>
> = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Alles richtig!
>
> wenn ich mich nicht verrechnet habe
>
> würde mich freuen, wenn jemand meine Lösung für a)
> kontrollieren könnte und mir zeigt, wie ich für b) die
> Stammfunktion bilde
Hier musst du zweimal partiell integrieren, um die Potenzen von dem [mm] $x^2$ [/mm] nach und nach runter zu schrauben
[mm] $\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}$
[/mm]
Wähle hier also [mm] $x^2=:u(x)$ [/mm] und [mm] $e^{-\frac{x}{2}}=:v'(x)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 06.06.2009 | | Autor: | LiN24 |
für b) hätte ich jetzt
[mm] x^{2} [/mm] * [mm] -2e^{\bruch{-x}{2}} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{2}{2x * e^{\bruch{-x}{2}} dx}
[/mm]
wie muss ich jetzt weiter machen?
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Hallo nochmal,
> für b) hätte ich jetzt
>
>
> [mm]x^{2}[/mm] * [mm]-2e^{\bruch{-x}{2}}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{2}{2x * e^{\bruch{-x}{2}} dx}[/mm]
Nee, das passt nicht ganz, mit den gemachten Vorgaben, also [mm] $u(x)=x^2$ [/mm] ist $u'(x)=2x$ und mit [mm] $v'(x)=e^{-\frac{x}{2}}$ [/mm] ist [mm] $v(x)=-2e^{-\frac{x}{2}}$ [/mm]
Das hattest du richtig, aber das falsch verwurschtelt.
Es ist ja [mm] $\int{u(x)v'(x) \ dx}=u(x)v(x)-\int{u'(x)v(x) \ dx}$
[/mm]
Das macht hier also [mm] $x^2\cdot{}(-2)e^{-\frac{x}{2}}-\int{2x\cdot{}(-2)e^{-\frac{x}{2}} \ dx}=-2x^2e^{-\frac{x}{2}}+4\cdot{}\int{xe^{-\frac{x}{2}} \ dx}$
[/mm]
Hier nochmal partiell integrieren in dem verbleibenden Integral.
Wieder mit [mm] $\tilde{u}(x)=x$ [/mm] und [mm] $\tilde{v}'(x)=e^{-\frac{x}{2}}$
[/mm]
>
> wie muss ich jetzt weiter machen?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Sa 06.06.2009 | | Autor: | LiN24 |
hatte ich schon gemerkt, dass ich mich vertan hab, hab jetzt nach 2x integrieren folgendes:
[mm] -2e^{\bruch{-x}{2}} [/mm] * [mm] (x^{2}+4x) [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{8e^{\bruch{-x}{2}}dx}
[/mm]
bin n bisschen anders vorgegangen als du, hoffe, das passt so
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Hallo nochmal,
> hatte ich schon gemerkt, dass ich mich vertan hab, hab
> jetzt nach 2x integrieren folgendes:
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> [mm]-2e^{\bruch{-x}{2}}[/mm] * [mm](x^{2}+4x)[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{2}{8e^{\bruch{-x}{2}}dx}[/mm]
>
>
> bin n bisschen anders vorgegangen als du, hoffe, das passt
> so
Ja, das passt, nun nur noch das verbleibende Integral ausrechnen und dann bei dem gesamten Term die Grenzen einsetzen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Sa 06.06.2009 | | Autor: | LiN24 |
ich hab jetzt als Ergebnis:
[mm] -40e^{-1}+16
[/mm]
danke schonmal für die Hilfe
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Hallo nochmal,
> ich hab jetzt als Ergebnis:
>
> [mm]-40e^{-1}+16[/mm]
Stimmt!
>
>
> danke schonmal für die Hilfe
LG
schachuzipus
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