Integrale mit Gaußklammer < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es bezeichne [.] die Gaußklammer. Für n aus N berechne man folgeden Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{1}{[nx]/ n dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{[nx]²/ n² dx} [/mm] |
Hallo,
ich bin neu hier, deshalb sry wenn ich mich nicht an alle Regeln gehalten habe.
Habe mir zu den Aufgaben gedacht, dass man per Substitution weiter kommen würde. Also z.b. bei a) 1/n² vor das Integral schreiben könnte. Komme aber nicht auf die Stammfunktion von [nx]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 07.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Es bezeichne [.] die Gaußklammer. Für n aus N berechne
> man folgeden Integrale:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{1}{[nx]/ n dx}[/mm]
> b)
> [mm]\integral_{0}^{1}{[nx]²/ n² dx}[/mm]
> Hallo,
> ich bin neu hier, deshalb sry wenn ich mich nicht an alle
> Regeln gehalten habe.
> Habe mir zu den Aufgaben gedacht, dass man per
> Substitution weiter kommen würde. Also z.b. bei a) 1/n²
> vor das Integral schreiben könnte. Komme aber nicht auf
> die Stammfunktion von [nx]
>
Man könnte so ein Integral als
[mm] \integral_0^1 \frac{1}{n}\summe_{k=0}^\infty k*1_{\left[k,k+1\right)}(nx)dx [/mm]
schreiben:
[mm] =\integral_0^1 \frac{1}{n}\summe_{k=0}^\infty k*1_{\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)}(x)dx=\frac{1}{n}\summe_{k=0}^\infty\integral_0^1 k*1_{[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})}(x)dx=\frac{1}{n}\summe_{k=0}^\infty k*\lambda\left([0,1]\cap\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)\right)
[/mm]
wobei mit [mm] \lambda(.) [/mm] das Lebesgue-Maß, also die Länge einer Menge, gemeint ist.
Der Schnitt in dem Ausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen führt dazu, dass Terme mit [mm] k/n\ge1 [/mm] verschwinden, was der Fall ist, wenn [mm] k\ge [/mm] n gilt. Deswegen kann man weiterschreiben
[mm] =\frac{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1} k*\lambda\left([0,1]\cap\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)\right)=\frac{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1} [/mm] k [mm] *\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}*(0+(n-1))*\frac{n}{2}=\frac{n-1}{n}
[/mm]
Eine Stammfunktion wäre (für [mm] nx\ge1, [/mm] da für [mm] 0\le [/mm] x<1 das Integral verschwindet):
[mm] \integral_{0}^{x}\frac{[nu]}{n}du=\frac{1}{n}\summe_{k=0}^\infty k*\lambda\left([0,x]\cap\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)\right)=\frac{1}{n}\left(\summe_{k=0}^{[nx]-1} k*\lambda\left([0,x]\cap\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)\right)+[nx]*(x-[nx]/n)\right)
[/mm]
[mm] =\frac{[nx]-1}{[nx]}+\frac{[nx](nx-[nx])}{n^2}
[/mm]
LG
gfm
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