Integrale mit Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Aladdin |
| Aufgabe | Berechne für $n=2$ und $n=3$
$ [mm] \int_{K_1{(0)}} \frac{2}{ \left| \left| x \right| \right|_2^2+1} d^{n} [/mm] x $ |
Guten Tag liebe Mathefreunde,
ich brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe.
Ich habe bis jetzt, falls ich richtig liege, einen kleinen Ansatz den ich aber nicht anwenden kann.
Mein Ansatz: Polarkoordinaten. Nur wie füge ich die ein.
[mm] $x=r*cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $y=r*sin(\phi)$
[/mm]
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Berechne für [mm]n=2[/mm] und [mm]n=3[/mm]
>
> [mm]\int_{K_1{(0)}} \frac{2}{ \left| \left| x \right| \right|_2^2+1} d^{n} x[/mm]
>
Mach dir vor allem klar, dass es sich hier um $n$ dimensionale Integrale handelt (also hier insbesondere um ein Doppel- oder Dreifachintegral).
> Guten Tag liebe Mathefreunde,
>
> ich brauche dringend Hilfe für diese Aufgabe.
> Ich habe bis jetzt, falls ich richtig liege, einen kleinen
> Ansatz den ich aber nicht anwenden kann.
>
> Mein Ansatz: Polarkoordinaten. Nur wie füge ich die ein.
>
> [mm]x=r*cos(\phi)[/mm]
> [mm]y=r*sin(\phi)[/mm]
Das $x$ hier ist verwirrend. Im Integranden hast du ein $x$, das ein Vektor ist, bestehend aus [mm] $x_1, x_2,....$ [/mm] Schreibe besser
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] r\cdot\cos(\phi)$ [/mm] und
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] r\cdot\sin(\phi)$
[/mm]
Dann kannst du doch [mm] $||x||^2_2$ [/mm] berechnen? Einfach einsetzen?
Ausserdem ist auch $d^2x = [mm] d(x_1,x_2)=dx_1 dx_2$.
[/mm]
Das Integral sollte die Form
[mm] $\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{....} [/mm] ... dr\ [mm] d\phi$
[/mm]
haben. Setze nun die richtigen Grenzen ein bzw. fuelle ... aus. Vergiss die Jacobideterminante nicht!
>
> LG
Gruss,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Aladdin |
Danke für deine Antwort.
Das es sich um ein Doppel bzw. Dreifachintegral handelt, des war mir klar. :) aber die anderen Sachen habe ich noch nicht verstanden.
$ [mm] ||x||^2_2 [/mm] $ wie berechne ich das? und das mit dem ausfüllen habe ich ja auch nicht verstanden leider. Das war ja sogesehen meine Ausgangsfrage.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Danke für deine Antwort.
>
> Das es sich um ein Doppel bzw. Dreifachintegral handelt,
> des war mir klar. :) aber die anderen Sachen habe ich noch
> nicht verstanden.
Hattet ihr das in der Vorlesung?
>
> [mm]||x||^2_2[/mm] wie berechne ich das?
Fangen wir mal hier an. Vermutlich ist das ein Problem mit der Notation?
Es ist (in 2D)
[mm] $||x||_2^2=x_1^2+x_2^2$
[/mm]
einfach der Betrag des Vektors $x$.Nun einfach einsetzen...
> und das mit dem ausfüllen
> habe ich ja auch nicht verstanden leider. Das war ja
> sogesehen meine Ausgangsfrage.
>
> LG
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Aladdin |
Hallo,
also $ [mm] ||x||_2^2=x_1^2+x_2^2 [/mm] $
$ [mm] r\cdot\cos^2(\phi) [/mm] $+ $ [mm] r\cdot\sin^2(\phi) [/mm] $
d.h.
$ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r\cdot\cos^2(\phi) + r\cdot\sin^2(\phi)+1 }dr\ d\phi [/mm] $
welche Grenzen hat denn mein r bzw [mm] \phi?
[/mm]
kann ich nicht anstatt $ [mm] r\cdot\cos^2(\phi) [/mm] $+ $ [mm] r\cdot\sin^2(\phi) [/mm] $, einfach ein r ausklammern. dann hätte ich [mm] $r*(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))$ [/mm] = $r$
also,
$ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r+1 }dr\ d\phi [/mm] $ ist das falsch?
nee wir hatten es noch nicht in der Vorlesung. Das ist eine Bonusaufgabe zu einer Probeklausur gewesen. Er meinte es könnte evtl als Bonusaufgabe drankommen. Und aus diesem Grund brauche ich halt die Lösung dafür ^^
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 29.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> also [mm]||x||_2^2=x_1^2+x_2^2[/mm]
>
> [mm]r\cdot\cos^2(\phi) [/mm]+ [mm]r\cdot\sin^2(\phi)[/mm]
Nein, sondern [mm]r^2\cdot\cos^2(\phi) [/mm]+ [mm]r^2\cdot\sin^2(\phi)[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r\cdot\cos^2(\phi) + r\cdot\sin^2(\phi)+1 }dr\ d\phi[/mm]
>
> welche Grenzen hat denn mein r bzw [mm]\phi?[/mm]
>
> kann ich nicht anstatt [mm]r\cdot\cos^2(\phi) [/mm]+
> [mm]r\cdot\sin^2(\phi) [/mm], einfach ein r ausklammern. dann hätte
> ich [mm]r*(sin^2(\phi)+cos^2(\phi))[/mm] = [mm]r[/mm]
S.o: [mm] r^2
[/mm]
>
> also,
> [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r+1 }dr\ d\phi[/mm]
> ist das falsch?
Ja. 1. wie oben: [mm] r^2. [/mm] 2. Hast Du die Funktionaldeterminante vergessen, also
[mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r^2+1 }*rdr\ d\phi[/mm]
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und $0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2 [mm] \pi$
[/mm]
FRED
>
>
> nee wir hatten es noch nicht in der Vorlesung. Das ist eine
> Bonusaufgabe zu einer Probeklausur gewesen. Er meinte es
> könnte evtl als Bonusaufgabe drankommen. Und aus diesem
> Grund brauche ich halt die Lösung dafür ^^
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Aladdin |
Vielen dank, ja hab [mm] r^2 [/mm] vergessen.
wieso hast du nach dem Bruch noch $*r$ stehen?
Also hier: $ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r^2+1 }\cdot{}rdr\ d\phi [/mm] $
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 29.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Vielen dank, ja hab [mm]r^2[/mm] vergessen.
>
> wieso hast du nach dem Bruch noch [mm]*r[/mm] stehen?
Bei dem Uebergang von einem Koordinatensystem ins andere musst du die Funktionaldeterminante
[mm] $\det \left(\frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(r,\phi)} \right)=\det\pmat{ \frac{\partial x_1}{\partial r}& \frac{\partial x_1}{\partial\phi} \\
\frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial\phi} }$
[/mm]
mitnehmen. (Kannst ja mal nachrechnen!)
>
> Also hier: [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{ r^2+1 }\cdot{}rdr\ d\phi[/mm]
>
> LG
>
>
Nochmal 'ne Nachfrage: Ist dir klar, wo die Grenzen herkommen???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 11.07.2015 | | Autor: | Aladdin |
Hallo nochmal, ich habe es hinbekommen und hatte halt als Lösung $ln(2)-ln(1)$. Das war ja für $n=2$
nun bei $n=3$
Mit Kugelkoordinaten.
$ [mm] ||x||_2^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2 [/mm] $
[mm] $x_1=r*sin(\theta)*cos(\phi)$
[/mm]
[mm] $x_2=r*sin(\theta)*sin(\phi)$
[/mm]
[mm] $x_3=r*cos(\theta)$
[/mm]
$ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*sin(\theta)*cos(\phi)+r^2*sin(\theta)*sin(\phi)+r^2*cos(\theta)} [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm]
$ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*(sin(\theta)+cos(\phi)+sin(\theta)+sin(\phi)+cos(\theta))} [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm]
$ [mm] \int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*(sin(\theta))} [/mm] dr [mm] d\theta d\phi$ [/mm]
und nun fühle ich mich sehr unsicher, ich denke mir ich habe irgendwo einen Fehler gemacht und hoffe dass ihr mir helfen könnt.
Wie sieht das Integral am Ende aus, was ich integrieren muss? Die Grenzen? Bei diesen Sachen blicke ich da noch nicht ganz durch.
LG
|
|
|
| |
|
Hallo Aladdin,
> Hallo nochmal, ich habe es hinbekommen und hatte halt als
> Lösung [mm]ln(2)-ln(1)[/mm]. Das war ja für [mm]n=2[/mm]
>
> nun bei [mm]n=3[/mm]
>
> Mit Kugelkoordinaten.
>
> [mm]||x||_2^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2[/mm]
>
> [mm]x_1=r*sin(\theta)*cos(\phi)[/mm]
> [mm]x_2=r*sin(\theta)*sin(\phi)[/mm]
> [mm]x_3=r*cos(\theta)[/mm]
>
> [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*sin(\theta)*cos(\phi)+r^2*sin(\theta)*sin(\phi)+r^2*cos(\theta)} dr d\theta d\phi[/mm]
>
> [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*(sin(\theta)+cos(\phi)+sin(\theta)+sin(\phi)+cos(\theta))} dr d\theta d\phi[/mm]
>
> [mm]\int\limits_{r\ \textnormal{Grenzen}}\int\limits_{\theta\ \textnormal{Grenzen}} \int\limits_{\phi\ \textnormal{Grenzen}} \frac{2}{r^2*(sin(\theta))} dr d\theta d\phi[/mm]
>
>
> und nun fühle ich mich sehr unsicher, ich denke mir ich
> habe irgendwo einen Fehler gemacht und hoffe dass ihr mir
> helfen könnt.
>
> Wie sieht das Integral am Ende aus, was ich integrieren
> muss? Die Grenzen? Bei diesen Sachen blicke ich da noch
> nicht ganz durch.
Der Integrand lautet zunächst:
[mm]\bruch{2}{r^{2}+1}[/mm]
Zu diesem Integrand kommt nach die Funktionaldeterminante hinzu,
die sich aus der Parametertransformation ergibt.
Dann wird der Integrand mit dieser Funktionaldeterminante multipliziert.
Dies ist dann zu integrieren.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 12.07.2015 | | Autor: | Aladdin |
hmm dann kommt ja dasselbe wie bie $n=2$ raus? oder habe ich da was falsch verstanden?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo Aladdin,
> hmm dann kommt ja dasselbe wie bie [mm]n=2[/mm] raus? oder habe ich
> da was falsch verstanden?
>
Da kommt etwas anderes heraus.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 15.07.2015 | | Autor: | Chris84 |
> hmm dann kommt ja dasselbe wie bie [mm]n=2[/mm] raus? oder habe ich
> da was falsch verstanden?
>
> LG
Gehen wir das mal Schritt fuer Schritt an:
Was ist denn die Funktionaldeterminante fuer Kugelkoordinaten?
|
|
|
|
