Integrale mit eulerschen Zahl < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | [mm] \integral_{-10}^{2}{\bruch{1}{2}e^{-x+1} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}e^{-x+1}
[/mm]
[mm] \integral_{-10}^{2}{\bruch{1}{2}*(e^{x}+e^{-x}) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(e^{x-e^{-x}})
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{1+x}{x} dx} [/mm] = ln(x)+x
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Guten Abend,
ich hatte mich mal rangesetzt, um für die morgige Klausur ein paar Aufgaben zur Wiederholung zu rechnen. Jedoch bin ich bei den drei oben angegebenen hängengeblieben, da ich zwar die Lösung (rechte Angaben) besitze aber nicht den Weg dorthin nachvollziehen kann.
Zwar ist mir klar, dass man die Stammfunktion bilden muss, doch habe ich jeden Durchblick bei den Rechnungen mit der eulerschen Zahl verloren. Es wäre klasse, wenn mir jemand von euch die nötigen Schritte aufschreiben könnte, damit ich wenigstens einen Hauch von Ahnung vorweisen kann.
Mfg Isaak
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Hallo Isaak,
Denke an die Kettenregel der Ableitung "innere Ableitung mal die äußere Ableitung" und daran, daß die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ergibt. Dann gilt einerseits [mm]\tfrac{\partial}{\partial x}(-x+1)=-1[/mm] und andererseits [mm]\tfrac{\partial}{\partial\alpha}e^{\alpha}=e^{\alpha}[/mm] mit [mm]\alpha(x):=-x+1[/mm]. Jetzt ausmultiplizieren: [mm]e^{-x+1}\cdot{}(-1)[/mm].
Und jetzt bedenke: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation, also gilt: [mm]\textstyle\int{-e^{-x+1}\,\operatorname{d}\!x}=e^{-x+1}[/mm]. Alles, was du jetzt noch tun mußt, ist diese Formel an deinen Spezialfall anzupassen: [mm]\textstyle\int{-e^{-x+1}\,\operatorname{d}\!x}=2\cdot{}\int{\frac{1}{2}\cdot{}e^{-x+1}\cdot{}(-1)\,\operatorname{d}\!x}=e^{-x+1}[/mm]. Jetzt mache noch eine Äquivalenzumformung ("[mm]\Leftrightarrow[/mm]") und du bist fertig.
Beim 2ten Integral gilt dasselbe Prinzip und dazu noch die ![[]](/images/popup.gif) Linearität der Integration.
Beim 3ten Integral gilt ebenfalls die Linearität der Integration und die Formel [mm]\textstyle\int{\frac{1}{x}\,\operatorname{d}\!x}=\ln\left|x\right|[/mm] kann man sich merken. ;)
Übrigens sind die Ergebnisse, so wie du sie aufgeschrieben hast, noch falsch. Bei dir sind es bestimmte Integrale. Das heißt, du mußt nach dem Integrieren die Integrationsgrenzen in die geschlossene Darstellung des Integrals einsetzen. Lies dir am Besten den Wikipedia-Artikel von oben dazu durch.
Gruß V.N.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Do 28.05.2009 | | Autor: | Isaak |
Danke!
Ich hab' jetzt versucht durchzusteigen aber leider ohne Erfolg!
Mal schau'n wie's morgen läuft.
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