Integrale und Subst. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 26.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale:
(i) [mm] \integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x * sin(x) dx}
[/mm]
(iii) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x+3}{x²+4} dx} [/mm] |
Halli Hallo,
so die oberen Integrale soll ich nun berechnen.
Ich habe (i), und (iii) gemacht und wollte fragen, ob ich diese so richtig gemacht habe, falls nicht, wo denn der Fehler liegt.
Zu (i): [mm] \integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}. [/mm] Dieses Integral habe ich mittels Partieller Ableitung bestimmt. Also:
[mm] \integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}=[\bruch{1}{4}*x^4 [/mm] * [mm] ln(x)]^{2}_1- \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{4}*x^4 * \bruch{1}{x} dx}=
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)]^{2}_1-\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{4}*x^3 dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)]^{2}_1-[\bruch{1}{16}*x^4]^{2}_1
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)-\bruch{1}{16}*x^4]^{2}_1
[/mm]
[mm] =4*ln(2)-1+\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] =4*ln(2)-\bruch{15}{16}
[/mm]
Also das wäre meine Lösung für (i).
Zu (iii): [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x+3}{x²+4} dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}+ \integral_{0}^{1}{\bruch{3}{x²+4} dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}+ 3*\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x²+4} dx}.
[/mm]
Hier habe ich jetzt das linke Integral mittels Substitution gelöst, und die rechte einfach "aufgeleitet".
Erstmal die Substitution:
$g(x):=y:=x²+4$ somit [mm] g'(x)=\bruch{dg}{dx}=2x \Rightarrow [/mm] $dg=2x dx$
Also [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}=\integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{dg}{y} dy}
[/mm]
Somit:
$[ln(y)]+3*[ln(x²+4)]=[ln(x²+4)]+3*[ln(x²+4)]=[4*ln(x²+4)]$
Also die Werte habe ich jetzt nicht eingesetzt aber das wäre jetzt meine Lösung.
Bei (ii) habe ich absolut keine Ahnung wie ich diese lösen soll, da mir keine geeignete Substitution einfällt. Wäre somit für einen Tipp dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 26.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ra
> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
> (i) [mm]\integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}[/mm]
> (ii)
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x * sin(x) dx}[/mm]
> (iii)
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x+3}{x²+4} dx}[/mm]
>
> Zu (i): [mm]\integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}.[/mm] Dieses Integral
> habe ich mittels Partieller Ableitung bestimmt. Also:
> [mm]\integral_{1}^{2}{x^3 * ln(x) dx}=[\bruch{1}{4}*x^4[/mm] *
> [mm]ln(x)]^{2}_1- \integral_{1}^{2}{\bruch{1}{4}*x^4 * \bruch{1}{x} dx}=[/mm]
>
> [mm][\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)]^{2}_1-\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{4}*x^3 dx}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)]^{2}_1-[\bruch{1}{16}*x^4]^{2}_1[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{4}*x^4 *ln(x)-\bruch{1}{16}*x^4]^{2}_1[/mm]
>
> [mm]=4*ln(2)-1+\bruch{1}{16}[/mm]
> [mm]=4*ln(2)-\bruch{15}{16}[/mm]
> Also das wäre meine Lösung für (i).
Richtig
> Zu (iii): [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x+3}{x²+4} dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}+ \integral_{0}^{1}{\bruch{3}{x²+4} dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}+ 3*\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x²+4} dx}.[/mm]
>
> Hier habe ich jetzt das linke Integral mittels Substitution
> gelöst, und die rechte einfach "aufgeleitet".
diese Aufleitung ist falsch, differenzier nach der Kettenregel und du siehst es.
> [mm]g(x):=y:=x²+4[/mm] somit [mm]g'(x)=\bruch{dg}{dx}=2x \Rightarrow[/mm]
> [mm]dg=2x dx[/mm]
> Also [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}=\integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{dg}{y} dy}[/mm]
dieser Teil ist richtig!
> [mm][ln(y)]+3*[ln(x²+4)]=[ln(x²+4)]+3*[ln(x²+4)]=[4*ln(x²+4)][/mm]
falsch, siehe oben.
ii: wieder partielle Integration, dann hast du cos im Integral, nochmal part. integrieren hast du wieder das Augangsintegral, auf die linke Seite bringen und du hast 2* das ursprüngliche Integral. (der Trick funktionier häufiger, besonders mit sin oder cos im Integranden!)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Mi 26.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
So, habe den Fehler bemerkt, danke !!!
Also:
$ [mm] 3*\integral_{0}^{1}{\bruch{2x}{x²+4} dx}+ 3\cdot{}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x²+4} dx}. [/mm] $.
Betrachte das linke Integral:
[mm] 3*\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x²+4} dx} [/mm] mittels Substitution x=2t, und $dx=2 dt$
Also: [mm] 3*\integral_{0}^{1}{\bruch{2}{4t²+4} dt}=
[/mm]
[mm] \bruch{6}{4}*\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{t²+1} dt}=
[/mm]
[mm] \bruch{6}{4}*$[arctan(t)]$=
[/mm]
[mm] \bruch{6}{4}*$[arctan(\bruch{x}{2})]$
[/mm]
Und somit ergibt alles zusammen:
[mm] $[ln(x²+4)]+\bruch{6}{4}[arctan(\bruch{x}{2})]$
[/mm]
Richtig so ???
Sieht jedenfalls sehr schön aus. :)
Zu (ii):
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x \cdot{} sin(x) dx} [/mm] $
Also mittels Partieller Integration:
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x \cdot{} sin(x) dx} [/mm] $ = [mm] $[e^x [/mm] * [mm] cos(x)]$-\integral_{0}^{\pi}{e^x * cos(x) dx}= [/mm] (nochmals part. Integr.)
[mm] =$[e^x [/mm] * cos(x)]$ - [mm] $[e^x [/mm] * -sin(x)]$ -
[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x * sin(x) dx} \Rightarrow
[/mm]
2*$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x * sin(x) dx} $=$[e^x [/mm] * [mm] cos(x)]$-$[e^x [/mm] * -sin(x)]$=
$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^x * sin(x) dx} $=$\bruch{1}{2}*[e^x [/mm] * [mm] cos(x)]$-$[e^x [/mm] * -sin(x)]$
So. Das wärs.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Do 27.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ra
iii scheint jetzt richtig
> Zu (ii):
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x \cdot{} sin(x) dx}[/mm]
> Also mittels
> Partieller Integration:
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x \cdot{} sin(x) dx}[/mm] = [mm][e^x * cos(x)][/mm][mm] -\integral_{0}^{\pi}{e^x * cos(x) dx}=[/mm]
Vorzeichenfehler Stammfkt von sin ist -cos!
der Rest ist dann dadurch falsch, weiter unten dann wieder Stammfkt von cosx ist +sinx!
also mach weiter mit
[mm]\integral_{0}^{\pi}{e^x \cdot{} sin(x) dx}[/mm] = [mm][-e^x * cos(x)][/mm][mm] +\integral_{0}^{\pi}{e^x * cos(x) dx}=[/mm]
Aber das Vorgehen ist richtig.
Gruss leduart
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