Integralformel / Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten morgen!
In einem Prüfungsprotokoll ist folgendes zu Thema Analysis IV gefragt worden:
1. Cauchysche Integralformel ( Aussage, Bild, Bedeutung )
2. Herleitung einer Abschätzung fü die n-te Ableitung auf der Integralformel
3. Begründung, warum man unter dem Integral differenzieren darf.
4. Beweis des Satzes von Louville mittels dieser Abschätzung.
Diese Antworten würde ich geben:
Zu 1.
Sei U offen in [mm] \mathbb C [/mm], [mm] f: U \to \mathbb C [/mm] holomorph. Sei B eine offene Kreisscheibe mit Abschluss von B in U enthalten. Dann gilt für alle [mm] z \in B [/mm]
[mm] f(z) = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B } \bruch{f(\xi) }{ z - \xi } d \xi [/mm]
Das bedeutet, dass die Werte einer holomorphen Funktion auf dem Rand einer Kreisscheibe die Werte im Inneren vollständig bestimmen.
Wäre diese Antwort o.k ?
Zu 2.
Aus der Vorlesung weiß ich, dass die n-te Ableitung lautet:
[mm] f^{ (n) } (c) = \bruch{n!}{ 2 \pi i } \integral_{\partial B} \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c ) ^{n+1} } d \xi [/mm].
Aber ich weiß nicht, wie man diese aus der Integralformel abschätzt.... :-(.
Wie sieht das denn aus?
Zu3.
Da weiß ich gerade garnicht, was ich dazu antworten soll.. :-(.
Hat das damit zu zun, dass man eine Taylor-Reihe um c eintwickeln kann und man Potenzreihen gleidweise differenzieren darf??? Aber was hat das mit dem Integral zu tun?
Zu 4.
Hierfür kenne ich nur diesen Beweis, der ebenfalls eine Abschätzung benutzt.
Und zwar benutzt man für den Beweis von Louville diesen Sachverhalt:
Sei U offen in [mm] \mathbb C [/mm] und f ist holomorph auf U. Sei [mm] c \in U [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^\infty a_n (z - c)^n [/mm] die Taylorreihe von f um c.
Sei r>0 mit [mm] \overline { B_r (c) } \subseteq U [/mm] und sei [mm] M:= [mm] \max_{ \left| z - c \right| = r } \left| f(z) \right| [/mm] /mm].
Dann ist [mm] \left| a_n \right| \le \bruch{M}{r^n} [/mm].
Satz von Louville :
Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant.
Beweis :
Da f beschränkt ist, gibt es ein [mm] M\ge 0 [/mm] mit [mm] \left| f(z) \right| \le M [/mm] für alle [mm] z \in \mathbb C [/mm].
Sei [mm] f(z) = \summe_{n=0}^\infty a_n z^n [/mm] die Taylor - Reihe von f um 0, diese konvergiert für alle komplexen Zahlen.
Wegen der Abschätzung ( siehe oben ) gilt für alle r>0 :
[mm] \left| a_n \right| \le \bruch{M}{r^n} [/mm]..
Deswegen ist [mm] a_n = 0 [/mm] für alle [mm] n \ge 1 [/mm].
Somit folgt: [mm] f = a_0 [/mm] , damit ist f konstant!
Ist das diese Abschätzung?
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Sa 10.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> In einem Prüfungsprotokoll ist folgendes zu Thema Analysis
> IV gefragt worden:
>
> 1. Cauchysche Integralformel ( Aussage, Bild, Bedeutung )
> 2. Herleitung einer Abschätzung fü die n-te Ableitung auf
> der Integralformel
> 3. Begründung, warum man unter dem Integral differenzieren
> darf.
> 4. Beweis des Satzes von Louville mittels dieser
> Abschätzung.
>
> Diese Antworten würde ich geben:
>
> Zu 1.
>
> Sei U offen in [mm]\mathbb C [/mm], [mm]f: U \to \mathbb C[/mm] holomorph.
> Sei B eine offene Kreisscheibe mit Abschluss von B in U
> enthalten. Dann gilt für alle [mm]z \in B[/mm]
>
> [mm]f(z) = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B } \bruch{f(\xi) }{ z - \xi } d \xi[/mm]
>
> Das bedeutet, dass die Werte einer holomorphen Funktion auf
> dem Rand einer Kreisscheibe die Werte im Inneren
> vollständig bestimmen.
>
> Wäre diese Antwort o.k ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu 2.
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass die n-te Ableitung
> lautet:
>
> [mm]f^{ (n) } (c) = \bruch{n!}{ 2 \pi i } \integral_{\partial B} \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c ) ^{n+1} } d \xi [/mm].
>
> Aber ich weiß nicht, wie man diese aus der Integralformel
> abschätzt.... :-(.
> Wie sieht das denn aus?
B ist eine beliebige offene Kreisscheibe, in der c liegt. Wähle eine Kreisscheibe fester Größe mit c als Mittelpunkt. [mm] $\overline [/mm] B= [mm] B\cup \partial [/mm] B$ ist sogar kompakt. Wie kannst du dann das Integral abschätzen?
> Zu3.
>
> Da weiß ich gerade garnicht, was ich dazu antworten soll..
> :-(.
> Hat das damit zu zun, dass man eine Taylor-Reihe um c
> eintwickeln kann und man Potenzreihen gleidweise
> differenzieren darf??? Aber was hat das mit dem Integral zu
> tun?
Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert und Integral. Wann ist das erlaubt?
>
> Zu 4.
> Hierfür kenne ich nur diesen Beweis, der ebenfalls eine
> Abschätzung benutzt.
Du musst diese (oder eine ähnliche) Abschätzung in Teil 2 herleiten, dann geht der Beweis natürlich genauso durch.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> > Sei U offen in [mm]\mathbb C [/mm], [mm]f: U \to \mathbb C[/mm] holomorph.
> > Sei B eine offene Kreisscheibe mit Abschluss von B in U
> > enthalten. Dann gilt für alle [mm]z \in B[/mm]
> >
> > [mm]f(z) = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B } \bruch{f(\xi) }{ z - \xi } d \xi[/mm]
>
> > Zu 2.
> > Aus der Vorlesung weiß ich, dass die n-te Ableitung
> > lautet:
> > [mm]f^{ (n) } (c) = \bruch{n!}{ 2 \pi i } \integral_{\partial B} \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c ) ^{n+1} } d \xi [/mm].
>
> B ist eine beliebige offene Kreisscheibe, in der c liegt.
> Wähle eine Kreisscheibe fester Größe mit c als Mittelpunkt.
> [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm] ist sogar kompakt. Wie kannst
> du dann das Integral abschätzen?
Ich weiß leider nicht wirklich genau, was ich abschätzen soll... :-(.
Nach der Vorlesung ist bekannt, dass in einer festen offenen Kreisscheibe um einen Punkt c, für alle z innerhalb der Kreisscheibe
[mm] \integral_{ \partial B } \bruch{ \partial \xi }{ \xi - z } = 2 \pi i [/mm]
( Kurze Zwischenfrage: das [mm ] [mm] \xi [/mm] [/mm] ist das eine feste Größe auf dem Rand ??? )
Aber ich sehe auch damit noch nicht genau, wohin mich das führt :-(. Wenn ich doch [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm] habe, und über
[mm]\overline B [/mm] integrieren möchte, dann kann ich das doch einzeln machen, oder? Also:
[mm] \integral_{ \overline B } f (z) = \integral_B f(z) + \integral_{ \partial B } f(z) [/mm]
Stimmt das?
> > Zu3.
> Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> und Integral. Wann ist das erlaubt?
Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
In dem Fall der Taylor - Reihe?
> > Zu 4.
> > Hierfür kenne ich nur diesen Beweis, der ebenfalls eine
> > Abschätzung benutzt.
>
> Du musst diese (oder eine ähnliche) Abschätzung in Teil 2
> herleiten, dann geht der Beweis natürlich genauso durch.
Würde die Herleitung folgendermaßen ausschauen:
[mm] a_n = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B_r } \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c )^{n +1 } } d \xi [/mm]
[mm] \rightarrow \left| a_n \right| \le \bruch{1}{2 \pi } 2 \pi r \cdot \bruch{ M }{ r^{n+1} } = \bruch{M}{r^n} [/mm].
Oder wäre das nur der Beweis des Satzes den ich benutze?
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> > > Zu3.
>
> > Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> > Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> > und Integral. Wann ist das erlaubt?
>
> Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
> In dem Fall der Taylor - Reihe?
Die Vertauschung ist nur dann erlaubt, wenn die Ableitung selbst stetig auf dem Integrationsbereich ist.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Differenzieren unter dem Integral
> Viele Grüße
> Irmchen
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> > > > Zu3.
> >
> > > Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> > > Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> > > und Integral. Wann ist das erlaubt?
> >
> > Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
> > In dem Fall der Taylor - Reihe?
>
> Die Vertauschung ist nur dann erlaubt, wenn die Ableitung
> selbst stetig auf dem Integrationsbereich ist.
>
> Siehe auch:
> Differenzieren unter dem Integral
Aber sehe ich das richtig, dass bei gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen gegen eine Funktion f die Funktion f dann stetig ist???
Und dann doch die glichmäßige Konvergenz eine Rolle spielt?
Leider bin ich mit der Abschätzung noch nicht weiter. Hoffe, dass mir da noch jemand helfen kann.
Viele Grüße
irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 11.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> > > > > Zu3.
> > >
> > > > Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> > > > Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> > > > und Integral. Wann ist das erlaubt?
> > >
> > > Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
> > > In dem Fall der Taylor - Reihe?
> >
> > Die Vertauschung ist nur dann erlaubt, wenn die Ableitung
> > selbst stetig auf dem Integrationsbereich ist.
> >
> > Siehe auch:
> >
> Differenzieren unter dem Integral
>
>
> Aber sehe ich das richtig, dass bei gleichmäßig
> konvergenten Funktionenfolgen gegen eine Funktion f die
> Funktion f dann stetig ist???
also ich hab' mir das ganze jetzt nicht genau angeguckt:
Aber wichtig, und leider wird es anscheinend oft vergessen, dass zu erwähnen:
Wenn eine Funktionenfolge glm. gegen eine Funktion $f$ konvergiert, so heißt das absolut gar nicht, dass diese Funktion $f$ automatisch stetig ist.
Wenn aber eine Funktionenfolge stetiger Funktionen glm. gegen eine Funktion $f$ konvergiert, dann ist $f$ auch stetig. Präziser ist das natürlich in den Sätzen formuliert, aber mich wundert es in letzter Zeit immer öfter, dass man die Voraussetzung der Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] einfach *unerwähnt* läßt.
Wenn ich mich gerade nicht ganz täusche, könnte das von Mathepower erwähnte Kriterium auch mit sogenannten Lebesgue-Punkten zusammenhängen.
Ansonsten:
Schau mal hier im Beweis zu Satz 29.9.
Dort findest Du durchaus für Dich interessantes, wobei Du das ganze - so gesehen - dort sicherlich in Verbindung mit Satz 30.14 sehen solltest.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Sa 10.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> > > Sei U offen in [mm]\mathbb C [/mm], [mm]f: U \to \mathbb C[/mm] holomorph.
> > > Sei B eine offene Kreisscheibe mit Abschluss von B in U
> > > enthalten. Dann gilt für alle [mm]z \in B[/mm]
> > >
> > > [mm]f(z) = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B } \bruch{f(\xi) }{ z - \xi } d \xi[/mm]
>
> >
>
> > > Zu 2.
> > > Aus der Vorlesung weiß ich, dass die n-te Ableitung
> > > lautet:
>
> > > [mm]f^{ (n) } (c) = \bruch{n!}{ 2 \pi i } \integral_{\partial B} \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c ) ^{n+1} } d \xi [/mm].
>
> >
>
>
> > B ist eine beliebige offene Kreisscheibe, in der c liegt.
> > Wähle eine Kreisscheibe fester Größe mit c als Mittelpunkt.
> > [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm] ist sogar kompakt. Wie kannst
> > du dann das Integral abschätzen?
>
> Ich weiß leider nicht wirklich genau, was ich abschätzen
> soll... :-(.
> Nach der Vorlesung ist bekannt, dass in einer festen
> offenen Kreisscheibe um einen Punkt c, für alle z innerhalb
> der Kreisscheibe
>
> [mm]\integral_{ \partial B } \bruch{ \partial \xi }{ \xi - z } = 2 \pi i[/mm]
>
> ( Kurze Zwischenfrage: das [mm ] [mm]\xi[/mm][/mm] ist das eine feste
> Größe auf dem Rand ??? )
Nein, das liegt in Inneren, denn diese Formel ist ein Spezialfall der allgemeinen Formel für den Fall, dass f(z) konstant ist.
>
> Aber ich sehe auch damit noch nicht genau, wohin mich das
> führt :-(. Wenn ich doch [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm]
> habe, und über
> [mm]\overline B[/mm] integrieren möchte, dann kann ich das doch
> einzeln machen, oder? Also:
>
> [mm]\integral_{ \overline B } f (z) = \integral_B f(z) + \integral_{ \partial B } f(z)[/mm]
Darauf wollte ich gar nicht hinaus, sondern die Tatsache, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen ein Maximum und Minimum haben. Damit kannst du $|f(z)|$ auf [mm] $\overline{B}$ [/mm] und damit auf der Teilmenge [mm] $\partial [/mm] B$ abschätzen.
Sei nun $M:= [mm] \max_{z\in \overline{B}} [/mm] |f(z)|$. Wie geht's weiter?
> Stimmt das?
>
> > > Zu3.
>
> > Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> > Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> > und Integral. Wann ist das erlaubt?
>
> Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
Richtig, das ist eine hinreichende Bedingung für die Vertauschung von Grenzwert und Integral.
Hier ist das Kriterium, das MathePower nannte, besser: Der Integrand muss eine stetige Funktion von c sein. Das ist er offensichtlich in ganz $B$, da alle möglichen Werte von [mm] $\xi$ [/mm] auf dem Rand [mm] $\partial [/mm] B$ liegen.
> In dem Fall der Taylor - Reihe?
> > > Zu 4.
> > > Hierfür kenne ich nur diesen Beweis, der ebenfalls
> eine
> > > Abschätzung benutzt.
> >
> > Du musst diese (oder eine ähnliche) Abschätzung in Teil 2
> > herleiten, dann geht der Beweis natürlich genauso durch.
>
>
> Würde die Herleitung folgendermaßen ausschauen:
>
> [mm]a_n = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B_r } \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c )^{n +1 } } d \xi [/mm]
>
> [mm]\rightarrow \left| a_n \right| \le \bruch{1}{2 \pi } 2 \pi r \cdot \bruch{ M }{ r^{n+1} } = \bruch{M}{r^n} [/mm].
>
> Oder wäre das nur der Beweis des Satzes den ich benutze?
Wenn du ein solches M kennst, hast du eine Abschätzung für die Taylorkoeffizienten, und zwar genau diejenige, die du für den Beweis des Satzes von Liouville brauchst.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 11.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Hallo!
>
>
>
>
> > > Sei U offen in [mm]\mathbb C [/mm], [mm]f: U \to \mathbb C[/mm] holomorph.
> > > Sei B eine offene Kreisscheibe mit Abschluss von B in U
> > > enthalten. Dann gilt für alle [mm]z \in B[/mm]
> > >
> > > [mm]f(z) = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B } \bruch{f(\xi) }{ z - \xi } d \xi[/mm]
>
> >
>
> > > Zu 2.
> > > Aus der Vorlesung weiß ich, dass die n-te Ableitung
> > > lautet:
>
> > > [mm]f^{ (n) } (c) = \bruch{n!}{ 2 \pi i } \integral_{\partial B} \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c ) ^{n+1} } d \xi [/mm].
>
> >
>
>
> > B ist eine beliebige offene Kreisscheibe, in der c liegt.
> > Wähle eine Kreisscheibe fester Größe mit c als Mittelpunkt.
> > [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm] ist sogar kompakt. Wie kannst
> > du dann das Integral abschätzen?
>
> Ich weiß leider nicht wirklich genau, was ich abschätzen
> soll... :-(.
> Nach der Vorlesung ist bekannt, dass in einer festen
> offenen Kreisscheibe um einen Punkt c, für alle z innerhalb
> der Kreisscheibe
>
> [mm]\integral_{ \partial B } \bruch{ \partial \xi }{ \xi - z } = 2 \pi i[/mm]
>
> ( Kurze Zwischenfrage: das [mm ] [mm]\xi[/mm][/mm] ist das eine feste
> Größe auf dem Rand ??? )
>
> Aber ich sehe auch damit noch nicht genau, wohin mich das
> führt :-(. Wenn ich doch [mm]\overline B= B\cup \partial B[/mm]
> habe, und über
> [mm]\overline B[/mm] integrieren möchte, dann kann ich das doch
> einzeln machen, oder? Also:
>
> [mm]\integral_{ \overline B } f (z) = \integral_B f(z) + \integral_{ \partial B } f(z)[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> > > Zu3.
>
> > Eine Ableitung ist ein Grenzwert. Vertauschung von
> > Ableitung und Integral ist also Vertauschung von Grenzwert
> > und Integral. Wann ist das erlaubt?
>
> Bei gleichmäßiger Konvergenz ?
> In dem Fall der Taylor - Reihe?
> > > Zu 4.
> > > Hierfür kenne ich nur diesen Beweis, der ebenfalls
> eine
> > > Abschätzung benutzt.
> >
> > Du musst diese (oder eine ähnliche) Abschätzung in Teil 2
> > herleiten, dann geht der Beweis natürlich genauso durch.
>
>
> Würde die Herleitung folgendermaßen ausschauen:
>
> [mm]a_n = \bruch{1}{2 \pi i } \integral_{ \partial B_r } \bruch{ f( \xi ) }{( \xi - c )^{n +1 } } d \xi [/mm]
>
> [mm]\rightarrow \left| a_n \right| \le \bruch{1}{2 \pi } 2 \pi r \cdot \bruch{ M }{ r^{n+1} } = \bruch{M}{r^n} [/mm].
die Abschätzung ist doch super. Wenn $f$ nun ganz ist (also holomorph auf [mm] $\IC$), [/mm] dann hat $f$ ja die Darstellung [mm] $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$, [/mm] wobei die letzte Reihe Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] hat (weil $f$ ja holomorph auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] ist).
Bei Dir oben läßt Du nun mal $r [mm] \to \infty$ [/mm] laufen (die Rechnung kannst Du bei einer ganzen Funktion ja für einen *beliebig großen* Kreis so machen), dann folgt damit, dass [mm] $|a_n|=0$ [/mm] und damit auch [mm] $a_n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 1}$, [/mm] also folgt für alle $z [mm] \in \IC$:
[/mm]
[mm] $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n=a_0*z^0=a_0$
[/mm]
Und schon ist gezeigt, dass $f$ konstant ist (wenn $f$ beschränkt ist; die Beschränktheit braucht man wegen der Existenz des $M$'s, um einzusehen, dass damit dann [mm] $a_n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_{\ge 1}$ [/mm] gilt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich weiß nicht wo mein Problem liegt, aber irgendwie bin ich nicht so 100%ig zufrieden. Mit meiner Abschätzung beweise ich den Satz von Liouville, das habe ich verstanden. Aber wie kann ich das mit der Frage :
"Herleitung einer Abschätzung für die n-te Ableitung aus der Integralformel"
in Verbindung bringen?
Und wenn ich den Tipp vom Rainer in Angriff nehme, würde ich so weiter vorgehen:
Sei nun [mm] M = \max_{ z \in \overline B } \left| f(z) \right| [/mm].
Dann würde ich das so weiter abschätzen:
Wenn ich eine Weg hab, und von der Klasse [mm] C^1 [/mm]. Dann kann man [mm]M:= \max_{ a \le t \le b } \left| f ( \gamma (t) ) \right| [/mm] annehmen.
Dann ist
[mm] \left| \integral_{ \gamme } f(z) dz \right| = \left| \integral_a^b f( \gamma (t) ) \gamma'(f) dt \right| \le \integral_a^b \left| f( \gamma (t) ) \right| \left| \gamma'(f) \right| dt \le \integral_a^b M \cdot \left| \gamma'(f) \right| = M \cdot L( \gamma) [/mm]
Und nun???
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 11.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Guten Tag!
>
> Ich weiß nicht wo mein Problem liegt, aber irgendwie bin
> ich nicht so 100%ig zufrieden. Mit meiner Abschätzung
> beweise ich den Satz von Liouville, das habe ich
> verstanden. Aber wie kann ich das mit der Frage :
>
> "Herleitung einer Abschätzung für die n-te Ableitung aus
> der Integralformel"
>
> in Verbindung bringen?
>
> Und wenn ich den Tipp vom Rainer in Angriff nehme, würde
> ich so weiter vorgehen:
>
> Sei nun [mm]M = \max_{ z \in \overline B } \left| f(z) \right| [/mm].
> Dann würde ich das so weiter abschätzen:
>
> Wenn ich eine Weg hab, und von der Klasse [mm]C^1 [/mm]. Dann kann
> man [mm]M:= \max_{ a \le t \le b } \left| f ( \gamma (t) ) \right|[/mm]
> annehmen.
> Dann ist
>
> [mm]\left| \integral_{ \gamma } f(z) dz \right| = \left| \integral_a^b f( \gamma (t) ) \gamma'(f) dt \right| \le \integral_a^b \left| f( \gamma (t) ) \right| \left| \gamma'(f) \right| dt \le \integral_a^b M \cdot \left| \gamma'(f) \right| = M \cdot L( \gamma)[/mm]
>
>
> Und nun???
Prinzipiell ist das richtig, aber zunächst einmal solltest du das Integral abschätzen, um das es geht:
[mm]\left| \integral_{ \gamma} \bruch{f(z)}{(z-c)^n} dz \right| = \left| \integral_a^b \bruch{f(\gamma (t) )} {(\gamma(t)-c)^n} \gamma'(f) dt \right| \le \integral_a^b \bruch{|f(\gamma (t) )|} {|\gamma(t)-c|^n}\left|\gamma'(f)\right|dt \le \integral_a^b \bruch{M}{|\gamma(t)-c|^n}\left|\gamma'(f)\right|dt [/mm]
Dies gilt für jede Kurve, auch für einen Kreis vom Radius r um den Punkt c.
Viele Grüße
Rainer
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