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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 16.03.2011 | | Autor: | xNumb3rs |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu folgender Funktion:
[mm] f(x) = x^{2} * ( ln(x) - 0,5 ) [/mm]
Die Aufgabe lautet:
Bestimme t so, dass [mm] \integral_{\wurzel{e}}^{t}{f(x) dx} = (1/9)e * \wurzel{e} [/mm] ist.
Die Stammfunktion von f(x) kann ich mit der part. Integration bilden:
[mm] F(x) = \bruch{1}{3} x^{3} * (ln(x)-0,5) - \bruch{1}{9} x^{3} [/mm]
Da ich ja weiß, dass [mm] F(\wurzel{e}) = 0,5 [/mm] entspricht und [mm] F(t) - F(\wurzel{e}) = (1/9)e * \wurzel{e} [/mm], kann ich doch jetzt 0,5 auf die andere Seite rüber ziehen, so dass ich für F(t) nur noch folgendes stehen hab?
[mm] F(t) - F(\wurzel{e}) = (1/9)e * \wurzel{e} [/mm] |+ [mm] F(\wurzel{e}) [/mm]
-->
[mm] \bruch{1}{3} x^{3} * (ln(x)-0,5) - \bruch{1}{9} x^{3} = (1/9)e * \wurzel{e} + 0,5 [/mm]
Doch wie löse ich das jetzt weiter nach x auf, so dass ich auf die zweite Grenze t komme? Bin für jeden Tipp dankbar :)
Numb3rs
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo xNumb3rs,
> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage zu folgender Funktion:
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> [mm]f(x) = x^{2} * ( ln(x) - 0,5 )[/mm]
>
> Die Aufgabe lautet:
> Bestimme t so, dass [mm]\integral_{\wurzel{e}}^{t}{f(x) dx} = (1/9)e * \wurzel{e}[/mm]
> ist.
>
> Die Stammfunktion von f(x) kann ich mit der part.
> Integration bilden:
>
> [mm]F(x) = \bruch{1}{3} x^{3} * (ln(x)-0,5) - \bruch{1}{9} x^{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da ich ja weiß, dass [mm]F(\wurzel{e}) = 0,5[/mm] entspricht und
> [mm]F(t) - F(\wurzel{e}) = (1/9)e * \wurzel{e} [/mm], kann ich doch
> jetzt 0,5 auf die andere Seite rüber ziehen, so dass ich
> für F(t) nur noch folgendes stehen hab?
>
> [mm]F(t) - F(\wurzel{e}) = (1/9)e * \wurzel{e}[/mm] |+
> [mm]F(\wurzel{e})[/mm]
>
> -->
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> [mm]\bruch{1}{3} x^{3} * (ln(x)-0,5) - \bruch{1}{9} x^{3} = (1/9)e * \wurzel{e} + 0,5[/mm]
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> Doch wie löse ich das jetzt weiter nach x auf, so dass ich
> auf die zweite Grenze t komme? Bin für jeden Tipp dankbar
> :)
[mm]F\left(\wurzel{e}\right)[/mm] ist nicht richtig.
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> Numb3rs
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 16.03.2011 | | Autor: | xNumb3rs |
Danke du hast recht.
[mm] F\left(\wurzel{e}\right) = -0,5 [/mm]
Aber das ändert doch nur das eine Vorzeichen in meiner Gleichung:
[mm] \bruch{1}{3} x^{3} \cdot{} (ln(x)-0,5) - \bruch{1}{9} x^{3} = (1/9)e \cdot{} \wurzel{e} - 0,5 [/mm]
Wie ich jetzt weiter nach x auflösen soll weiß ich trotzdem nicht. Vielleicht einen kleinen Ansatz? :)
Numb3rs
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Hallo!
> Danke du hast recht.
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> [mm]F\left(\wurzel{e}\right) = -0,5[/mm]
Also wir haben
$F(x) = [mm] \frac{1}{3}x^3*(\ln(x) [/mm] - [mm] \frac{1}{2}) [/mm] - [mm] \frac{1}{9}x^3$
[/mm]
und die Gleichung
$F(x) - [mm] F(e^{1/2}) [/mm] = [mm] \frac{1}{9}e^{3/2}$,
[/mm]
die zu lösen ist. Ich komme auf [mm] $F(e^{1/2}) [/mm] = [mm] -\frac{1}{9}e^{3/2}$ [/mm] und damit auf die Gleichung
$F(x) = 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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