Integralgleichung beweisen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Sa 15.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | Es seien [mm] \int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}}=\bruch{1}{2}\sqrt\pi [/mm] und [mm] 2cos\bruch{\pi}{8}=\sqrt{2+\sqrt2} [/mm] als bekannt voraus gesetzt. Man beweise die Identität:
[mm] \int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2)dt=\bruch{1}{4}\sqrt{\pi}\sqrt{1+\sqrt2} [/mm] |
Hallo zusammen!!
Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe. In der Aufgabe davor habe ich bewiesen, dass [mm] e^{-i\bruch{\pi}{8}}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}dt}, [/mm] deswegen kann ich diese Gleichheit benutzen.
Außerdem [mm] e^{-i\bruch{\pi}{8}}=cos(\bruch{\pi}{8})-isin(\bruch{\pi}{8}) [/mm] und [mm] e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}=cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})-isin(\bruch{t^2}{\sqrt2}), [/mm] das kann ich in die Integrale einsetzen:
[mm] cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}-i\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}sin(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}
[/mm]
[mm] \bruch{t}{2^{\bruch{1}{4}}} [/mm] kann ich auf der linken Seite durch y substituieren somit
[mm] cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}cos(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}-i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}.
[/mm]
jetzt muss ich irgendwie beweisen, dass
[mm] isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}, [/mm] hier liegt mein Problem. Ich habe es mit Maple ausgerechnet und sie sind wirklich gleich. aber selber kann ich das nicht beweisen. Vieleicht kann mir jemand von euch einen Tipp geben, wie man das machen kann.
Vielen Dank im Voraus
Beste grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Sa 15.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Bin ich denn überhaupt auf dem richtigen Weg? Oder man kann es irgendwie anders lösen?
Gruß
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Hallo lila25,
> Es seien [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}}=\bruch{1}{2}\sqrt\pi[/mm]
> und [mm]2cos\bruch{\pi}{8}=\sqrt{2+\sqrt2}[/mm] als bekannt voraus
> gesetzt. Man beweise die Identität:
>
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2)dt=\bruch{1}{4}\sqrt{\pi}\sqrt{1+\sqrt2}[/mm]
> Hallo zusammen!!
> Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe. In der Aufgabe
> davor habe ich bewiesen, dass
> [mm]e^{-i\bruch{\pi}{8}}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}dt},[/mm]
> deswegen kann ich diese Gleichheit benutzen.
> Außerdem
> [mm]e^{-i\bruch{\pi}{8}}=cos(\bruch{\pi}{8})-isin(\bruch{\pi}{8})[/mm]
> und
> [mm]e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}=cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})-isin(\bruch{t^2}{\sqrt2}),[/mm]
> das kann ich in die Integrale einsetzen:
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}-i\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}sin(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}[/mm]
> [mm]\bruch{t}{2^{\bruch{1}{4}}}[/mm] kann ich auf der linken Seite
> durch y substituieren somit
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}cos(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}-i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}.[/mm]
> jetzt muss ich irgendwie beweisen, dass
> [mm]isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy},[/mm]
> hier liegt mein Problem. Ich habe es mit Maple
> ausgerechnet und sie sind wirklich gleich. aber selber kann
> ich das nicht beweisen. Vieleicht kann mir jemand von euch
> einen Tipp geben, wie man das machen kann.
Führe doch das Integral
[mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt[/mm]
auf das Integral
[mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2} \ dx}[/mm]
mit Hilfe einer Substitution zurück.
Es gilt
[mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt}=\operatorname{Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-\left(1-i\right)t^2}} \ dt}[/mm]
Nach der Substitution kannst Du die erste Gleichheit benutzen.
Für den Realteil der Wurzel des entstehenden komplexen
Ausdruckes benutzt Du dann die zweite Gleichheit.
> Vielen Dank im Voraus
> Beste grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 16.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, MathePower!!
Tausend Dank für deine Hilfe!!!
> Führe doch das Integral
>
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt[/mm]
>
> auf das Integral
>
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2} \ dx}[/mm]
>
> mit Hilfe einer Substitution zurück.
>
> Es gilt
>
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt}=\operatorname{Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-\left(1-i\right)t^2}} \ dt}[/mm]
Substitution: [mm] x=t\sqrt{1-i}, [/mm] dann
[mm] \int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}cos(t^2) \ dt}={Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-\left(1-i\right)t^2} dt}={Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}dx}={Re}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\bruch{1}{2}\sqrt{\pi}{Re}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}
[/mm]
Jetzt muss man den reellen Teil von [mm] \bruch{1}{\sqrt{1-i}} [/mm] ausrechnen.
[mm] \bruch{1}{\sqrt{1-i}}=\bruch{\sqrt{i+1}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\bruch{1+i}{2}}=\sqrt{\bruch{i}{2}+\bruch{1}{2}}=\sqrt{cos(\bruch{\pi}{8})+isin(\bruch{\pi}{8})}
[/mm]
An der Stelle könnte ich die 2. Gleichheiheit anwenden, aber ich weiß nicht, was ich hier mit der Wurzel machen soll.
ist das denn so richtig?
beste Grüße
> Nach der Substitution kannst Du die erste Gleichheit
> benutzen.
>
> Für den Realteil der Wurzel des entstehenden komplexen
> Ausdruckes benutzt Du dann die zweite Gleichheit.
>
>
> > Vielen Dank im Voraus
> > Beste grüße
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 So 16.05.2010 | | Autor: | lilia25 |
Danke MathePower!! ich habe es gemacht, auch das mit Wurzel!!
Vielen-vielen Dank!!!
Beste Grüße
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Hallo lilia25,
> Hallo, MathePower!!
> Tausend Dank für deine Hilfe!!!
> > Führe doch das Integral
> >
> > [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt[/mm]
> >
> > auf das Integral
> >
> > [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2} \ dx}[/mm]
> >
> > mit Hilfe einer Substitution zurück.
> >
> > Es gilt
> >
> > [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2) \ dt}=\operatorname{Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-\left(1-i\right)t^2}} \ dt}[/mm]
>
> Substitution: [mm]x=t\sqrt{1-i},[/mm] dann
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}cos(t^2) \ dt}={Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-\left(1-i\right)t^2} dt}={Re}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}dx}={Re}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\bruch{1}{2}\sqrt{\pi}{Re}\bruch{1}{\sqrt{1-i}}[/mm]
>
> Jetzt muss man den reellen Teil von [mm]\bruch{1}{\sqrt{1-i}}[/mm]
> ausrechnen.
>
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{1-i}}=\bruch{\sqrt{i+1}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\bruch{1+i}{2}}=\sqrt{\bruch{i}{2}+\bruch{1}{2}}=\sqrt{cos(\bruch{\pi}{8})+isin(\bruch{\pi}{8})}[/mm]
> An der Stelle könnte ich die 2. Gleichheiheit anwenden,
> aber ich weiß nicht, was ich hier mit der Wurzel machen
> soll.
>
> ist das denn so richtig?
>
Bis zu der Wurzel ist das richtig.
Es ist
[mm]1+i=\wurzel{2}*\left(\cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)+i*\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right) \ \right)[/mm]
Jetzt ziehst Du die Wurzel daraus:
[mm]\wurzel{1+i}=\wurzel[4]{2}\left(\cos\left(\bruch{\bruch{\pi}{4}
+2*k*\pi}{2}\right)+i*\sin\left(\bruch{\bruch{\pi}{4}
+2*k*\pi}{2}\right) \ \right), \ k=0,1[/mm]
[mm]=\wurzel[4]{2}\left(\cos\left(\bruch{\pi}{8}
+k*\pi}\right)+i*\sin\left(\bruch{\pi}{8}
+k*\pi}\right) \ \right), \ k=0,1[/mm]
> beste Grüße
> > Nach der Substitution kannst Du die erste Gleichheit
> > benutzen.
> >
> > Für den Realteil der Wurzel des entstehenden komplexen
> > Ausdruckes benutzt Du dann die zweite Gleichheit.
> >
> >
> > > Vielen Dank im Voraus
> > > Beste grüße
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 16.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es seien [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}}=\bruch{1}{2}\sqrt\pi[/mm]
> und [mm]2cos\bruch{\pi}{8}=\sqrt{2+\sqrt2}[/mm] als bekannt voraus
> gesetzt. Man beweise die Identität:
>
> [mm]\int^{\infty}_{0}{e^{-t^2}}cos(t^2)dt=\bruch{1}{4}\sqrt{\pi}\sqrt{1+\sqrt2}[/mm]
> Hallo zusammen!!
> Ich brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe. In der Aufgabe
> davor habe ich bewiesen, dass
> [mm]e^{-i\bruch{\pi}{8}}\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}dt},[/mm]
> deswegen kann ich diese Gleichheit benutzen.
> Außerdem
> [mm]e^{-i\bruch{\pi}{8}}=cos(\bruch{\pi}{8})-isin(\bruch{\pi}{8})[/mm]
> und
> [mm]e^{i\bruch{-t^2}{\sqrt2}}=cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})-isin(\bruch{t^2}{\sqrt2}),[/mm]
> das kann ich in die Integrale einsetzen:
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}cos(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}-i\int^{\infty}_{0}{e^{\bruch{-t^2}{\sqrt2}}sin(\bruch{t^2}{\sqrt2})dt}[/mm]
> [mm]\bruch{t}{2^{\bruch{1}{4}}}[/mm] kann ich auf der linken Seite
> durch y substituieren somit
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}-isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}cos(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}-i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy}.[/mm]
> jetzt muss ich irgendwie beweisen, dass
> [mm]isin(\bruch{\pi}{8})\int^{\infty}_{0}{e^{-x^2}dx}=i\int^{\infty}_{0}{e^{-y^2}sin(y^2)2^{\bruch{1}{4}}dy},[/mm]
> hier liegt mein Problem. Ich habe es mit Maple
> ausgerechnet und sie sind wirklich gleich. aber selber kann
> ich das nicht beweisen. Vieleicht kann mir jemand von euch
> einen Tipp geben, wie man das machen kann.
Real- und Imaginärteil der beiden Seiten der Gleichung müssen unabhängig voneinander gleich sein, und alle vorkommenden Integrale sind reell. Damit ergibt sich die gesuchte Identität.
Viele Grüße
Rainer
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