Integraloperator, Fixpunkt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 28.11.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der INtegraloperator T [mm] :(Tu)(x)=\integral_{0}^{x}{(x+exp(t))sin^2(u(t))dt} [/mm] in c[o,b] (bei bel. b > 0) einen eindeutig bestimmten Fixpunkt besitzt.
Hinweis: Durch zweimaliges Differenzieren des Integraloperators erhält man eine DGL, die man in ein System erster Ordnung überführen kann.
Benutzen Sie für den Beweis die Norm:
[mm] ||u||:=max{|u(t)|exp(-\alpha*t) | t \in [0,b]}, \alpha \in \IR, [/mm] u [mm] \in [/mm] C([0b,b]) |
Dazu habe ich eine Frage. Wenn ich den Integraloperator differenzieren soll, wie mache ich das, weil es handelt sich ja um ein spezielles Integral, dass ich nicht einfach durch Differenziation weg bekomme?
Wenn ich zuerst das Integral ausrechnen würde, wie müsste ich dann das x im Integral behandeln? Wie eine Variable oder eine Konstante? Weil die Grenzen gehen ja von 0 bis x und das Integral geht über t.
Wenn mir also jemand aus den Startlöchern helfen könnte wäre das super.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 So 28.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
[mm] $\integral_{0}^{x}{(x+exp(t))sin^2(u(t))dt}= [/mm] x* [mm] \integral_{0}^{x}{sin^2(u(t))dt}+ \integral_{0}^{x}{exp(t)sin^2(u(t))dt}$
[/mm]
und für eine stetige Funktion f gilt nach dem Hauptsatz:
$ [mm] (\integral_{a}^{x}{f(t) dt})'=f(x)$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 28.11.2010 | | Autor: | Peon |
Damit komme ich auf:
[mm] (Tu)''(x)=sin²(u(x))[2+e^x+cas(u(x))u'(x)(2x+2e^x)]
[/mm]
ist das richtig, irgendwie kann ich damit nichts anfangen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Tu=u ist, dann ist
$(Tu)''=u''$
Damit hast Du die gewünschte DGL.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Peon |
Ich sehe irgendwie noch nicht, wie mir das helfen soll. Wenn ich die DGL:
[mm] u''=sin^2(u(x))*[2+e^x+cos(u(x))u'(x)(2x+2e^x)]
[/mm]
habe, wie kann ich diese dann, wie in der Aufgabe gefordert in ein System erster Ordnung überführen?
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Hallo Peon,
> Ich sehe irgendwie noch nicht, wie mir das helfen soll.
> Wenn ich die DGL:
>
> [mm]u''=sin^2(u(x))*[2+e^x+cos(u(x))u'(x)(2x+2e^x)][/mm]
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]u''\left(x\right)=\sin^{2}\left( \ u\left(x\right) \ \right)*\left(2+e^{x}\right)+\red{\sin\left( \ u\left(x\right) \ \right)}*\cos\left( \ u\left(x\right) \ \right)*u'\left(x\right)*\left(2*x+2*e^{x}\right)[/mm]
>
> habe, wie kann ich diese dann, wie in der Aufgabe gefordert
> in ein System erster Ordnung überführen?
Substituiere [mm]u=y_{1}, \ u'=y_{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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