Integralproblem 2 (editiert) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion $ [mm] f:x->e^{-x} [/mm] $ ;x ist element der positiven Reelen Zahlen mit null
a) Stellen Sie die Tangentengleichung an dem Graphen von f für eine beliebeige Stelle x=u auf ?
b)Für welches u hat das Dreieck gebildet aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt ? |
Hallo mal wieder,
a)Denke mit Hilfe der ersten Ableitung
f'(u) \ = \ $ [mm] \bruch{y-f(u)}{x-u} [/mm] $ =
f'(u)*(x-u)+ $ [mm] f(e^{-x}) [/mm] $ = y =
y= $ [mm] (-e^{-x})'\cdot{}x-(-e^{-x})'\cdot{}u+f(e^{-x}) [/mm] $ (Ist das die Tangentengleichung von der Aufgabe ?)
wenn es richtig ist wäre dann diese Gleichung die eine Kathete 1
und was ist dann Kathete 2 = einfach nur "u" ?
das dann Kathete 1*Kathete 2*1/2 ausmultiplizieren, dann Ableiten und extremwert ermitteln, diesen ermittelten Extremwwrt dann in die Dreiecksgleichung einsetzten und max. Fläche ermitteln ... ???
??????was ist falsch und wie weiter ??
Grüße abermals Dank,
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Kannst Du uns nochmal die richtige Funktion, die hier betrachtet werden soll, verraten?
Gruß
Loddar
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hab es in den Anfangsthread eingefügt ...
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Hallo,
hier die Ableitung. von [mm] e^{-x}
[/mm]
f(x) ´= [mm] (-e^{-x})
[/mm]
so wie gehts weiter
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Was ergibt dann also $f(u)_$ bzw. $f'(u)_$ ?
Und das dann in die Formel $f'(u) \ = \ [mm] \bruch{y-f(u)}{x-u}$ [/mm] einsetzen und nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo massat!
Unabhängig von der Funktion kann man sich die Tangentengleichung eine Funktion an einer beliebigen stelle $u_$ auch mit der Punkt-Steigungs-Form von Geraden ermitteln:
$m \ = \ [mm] \bruch{y-y_P}{x-x_P}$
[/mm]
Dabei wird die Steigung der Tangente durch die 1. Ableitung bei $x \ = \ u$ engegeben.
Und der y-Wert entspricht dem Funktionswert an der Stelle $u_$ mit [mm] $y_P [/mm] \ = \ f(u)$ .
Damit wird dann für die Tangente: $f'(u) \ = \ [mm] \bruch{y-f(u)}{x-u}$
[/mm]
Nun noch nach $y \ = \ ...$ umstellen und die Terme für $f(u)_$ bzw. $f'(u)_$ einsetzen.
Prinzipiell hast Du das mit dem gesuchten Dreieck völlig richtig erfasst. Nun die entprechenden Terme aus der Tangentengleichung sowie $f(u)_$ einsetzen ... und los geht's mit der Extremwertberechnung.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ein Versuch
f'(u) \ = \ [mm] \bruch{y-f(u)}{x-u} [/mm] =
f'(u)*(x-u)+ [mm] f(e^{-x}) [/mm] = y =
y= [mm] (-e^{-x})'*x-(-e^{-x})'*u+f(e^{-x}) [/mm] (Ist das die Tangentengleichung von der Aufgabe ?)
wenn es richtig ist wäre dann diese Gleichung die eine Kathete 1
und was ist dann Kathete 2 = einfach nur "u" ?
das dann Kathete 1*Kathete 2*1/2 ausmultiplizieren, dann Ableiten und extremwert ermitteln, diesen ermittelten Extremwwrt dann in die Dreiecksgleichung einsetzten und max. Fläche ermitteln ... ???
??????was ist falsch und wie weiter ??
Grüße und Danke für Deine Mühe,
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
> f'(u)*(x-u)+ [mm]f(e^{-x})[/mm] = y =
Fast ... $y \ = \ f'(u)*(x-u)+f(u)$
Und hier setzen wir nun ein: [mm] $\green{f'(u)} [/mm] \ = \ [mm] -e^{-u} [/mm] \ = \ [mm] \green{-\bruch{1}{e^u}}$ [/mm] sowie [mm] $\blue{f(u)} [/mm] \ = \ [mm] e^{-u} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{e^u}}$
[/mm]
$y \ = \ [mm] \green{-\bruch{1}{e^u}}*(x-u)+\blue{\bruch{1}{e^u}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{e^u}x+\bruch{u}{e^u}+\bruch{1}{e^u} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x+u+1}{e^u}$
[/mm]
> wenn es richtig ist wäre dann diese Gleichung die eine Kathete 1
> und was ist dann Kathete 2 = einfach nur "u" ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst die beiden Achsenabschnitte der Tangente bestimmen (y-Achsenabschnitt bei $x \ = \ 0$ sowie die Nullstelle [mm] $x_N$). [/mm] Das sind dann Deine beiden gesuchten Katheten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Halöölle,
also,
[mm] y=1/2*\bruch{(1-0+u+1)}{e^{u}}*\bruch{(1-x+u+1)}{e^{u}}=\bruch{(x+u)*(u+2)}{4e^{2u}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(u²+2u+2x+xu)}{4e^{2u}}
[/mm]
gut dann ableiten
[mm] 4*e^{2u} [/mm] wäre dann schonmal [mm] -8*e^{-2u}=(-2)*\bruch{1}{e^{2u}}
[/mm]
wenn ich nach u ableite bleibt dan u.A. x übrig, ...P/q Formel geht auch net
ab hier bin ich wo, richtig ... wie weiter was falsch uuurgfgf
Grüße Allas Dank
masaat
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Hallo,
Zitat:
Du musst die beiden Achsenabschnitte der Tangente bestimmen
dieser Satz ist klar
2.
(y-Achsenabschnitt bei sowie die Nullstelle ).
aber hier ???
3.
Das sind dann Deine beiden gesuchten Katheten.
der hier auch
Manchmal ist es besser darüber zu schlafen, aber i.D.F. hat es mich nicht weiter gebracht ...
Grüße und Danke für Deine Geduld
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
> Du musst die beiden Achsenabschnitte der Tangente bestimmen
> dieser Satz ist klar
>
> 2.
> (y-Achsenabschnitt bei sowie die Nullstelle ).
>
> aber hier ???
Hm, wenn der 1. Satz oben klar ist, warum dieser nicht?
Für den y-Achsenabschnitt setzt Du in die Tangentengleichung
$ y \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{-x+u+1}{e^u} [/mm] $
den Wert $x \ = \ 0$ ein. Was erhältst Du? Da ist natürlich immer noch der Wert $u_$ drin enthalten.
Für die Nullstelle musst Du die Tangentengleichung gleich Null setzen und anschließend nach $x \ = \ ...$ umstellen:
$0 \ = \ [mm] \bruch{-x+u+1}{e^u} [/mm] $
Auch hier verbleibt noch ein $u_$ ...
> 3.
> Das sind dann Deine beiden gesuchten Katheten.
>
> der hier auch
Klären wir zunächst die beiden ersten Punkte ...
Gruß
Loddar
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Hallo und Danke,
Tangentengleichung
y= [mm] \bruch{-x+u+1}{e^u} [/mm] = y= [mm] \bruch{-0+u+1}{e^u}= [/mm] y= [mm] \bruch{u+1}{e^u} [/mm] (Funktionswert)
Nullstelle:
[mm] \bruch{-\bruch{u+1}{e^u}+u+1}{e^u}= [/mm] 0
so etwa ?
Grüße
masaat
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Hallo,
[mm] \bruch{-x+u+1}{e^u}*e^u=-x+u+1 [/mm] -> x=u+1
so richtig und wie weiter ?
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Damit haben wir also nun die Längen der beiden Katheten mit [mm] $\red{a \ = \ u+1}$ [/mm] sowie [mm] $\blue{b \ = \ \bruch{u+1}{e^u}}$ [/mm] .
Wie Du weiter oben bereits beschrieben hast, lautet der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\red{a}*\blue{b}$
[/mm]
Wenn Du nun die entsprechenden Terme in diese Formel einsetzt, hast Du die Flächenfunktion $A(u)_$ in Abhängigkeit der Unbekannten $u_$ .
$A(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(\red{u+1})*\blue{\bruch{u+1}{e^u}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(u+1)^2}{2*e^u}$
[/mm]
Hiervon nun die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
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Hallo, ich weiss garnicht was ich noch sagen soll...,
A(u) \ [mm] =\bruch{1}{2}\cdot{}(\red{u+1})\cdot{}\blue{\bruch{u+1}{e^u}} [/mm] = [mm] \bruch{(u+1)^2}{2\cdot{}e^u} [/mm]
[mm] A(u)'*(-2*e^u)=\bruch{2(u+1)}{-2\cdot{}e^u} *(-2*e^u)=2(u+1)=
[/mm]
2u=-1
u=-1/2 (das dann in die Tangentengleichung eingesetzt)= max Fläche , so richtig ?
Grüße und einen schönen Abend noch,
masaat
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Hallo,
nur zur Sicherheit .
A'(x) \ = \ [mm] \bruch{1-x^2}{2\cdot{}e^x}* 2e^x \gdw [/mm] x²=1 [mm] \gdw [/mm]
[mm] x=\wurzel{1} [/mm] (dies dann in die Flächenformel eingesetzt)...
Hoffe hab jetzt wieder nix falsch gemacht.
Grüße
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Do 21.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
nur das Beste an Loddar
masaat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Du meinst ja das richtige und hats auch das richtige Ergebnis mit $x \ = \ u+1$ .
> [mm]\bruch{-x+u+1}{e^u}*e^u=-x+u+1[/mm] -> x=u+1
Aber diese Schreibweise stimmt so nicht. Richtig ist z.B.:
[mm] $\bruch{-x+u+1}{e^u} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ $\left| \ *e^u$
$\gdw$ $-x+u+1 \ = \ 0$
usw.
Gruß
Loddar
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Do 21.12.2006 | | Autor: | masaat234 |
[mm] \gdw [/mm] Danke für den Hinweis [mm] \gdw [/mm]
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