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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 02.11.2005 | | Autor: | byCOCA |
Hallo!
Schreibe übermorgen eine Matheklausur über Integralrechnung und bin etwas hilflos..
Und zwar haben wir folgende Übungsaufgabe bekommen: Der Graph der Funktion f mit
f(x)=x(hoch3)+ x(hoch2) schließt mit der Tangente an der Stelle 2 und der 1.Achse eine Fläche ein. Berechne den Inhalt.
Die Nst. liegen ja bei 0 und -1. Deswegen habe ich gedacht, da ja die Stelle mit der Tangente bei 2 liegt, müsste das Integral von -1 bis 2 gehen...bin mir dabei aber nicht so sicher.
Habe dann die Stammfunktion gebildet: 1/4x(hoch4)+ 1/3x(hoch3)
Anschließend habe ich in die Stammfunktion für x, 2 und -1 eingesetzt,
also: F(a)-F(b). Mein Ergebnis ist: 20/3 - 1/12= 27/4
Bin mir zudem aber auch noch unsicher, ob ich bei der Flächenberechnung nicht das Integral auch noch zerlegen müsste. d.h in das Integral von -1 bis 0, und von 0 bis 2. Es wäre schön, wenn mir jemand helfen kann. MfG
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:17 Mi 02.11.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi..
also das ist schon so richtig wie du das gemacht hast. ergebniss stimmt im übrigen auch. du hättest ruhig die beiden flächen getrennt integrieren können. wenn du den flächeninhalt beider flächen dann aufaddiert hättest, wärst du auf's gleiche ergebniss gekommen, aber wäre halt was aufwendiger gewesen.
aber mal grundsätzlich gesprochen: du musst halt schauen, ob die kurve, in dem intervall welches du untersuchst, eine nullstelle hat. okay, in deinem beispiel hatte die funktion zwar bei x = 0 eine nullstelle, aber die funtkionswerte in dem intervall von -1 bis 2 wurden ja nicht negativ. die kurve blieb ja oberhalb der x-achse. sinn des getrenten integirerens ist ja dieser, das du keine negative fläche haben darfst. negative flächen gibt es ja nicht. desahlb mußt du in solch einem fall getrennt integrieren, um die fläche, die unterhalb der x-achse liegt, positiv machen zu können. erst dann erhälst du das richtige ergebniss, denn ansosnten, können sich zwei flächen gegeneinander aufheben.
also, trotz nullstelle in deiner aufgabe, musst du hier nicht zwei getrennte flächeninhalte ausrechnen. das ist nur der fall, wenn eien fläche ins negative übergeht.
viele grüße benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
ich glaube nicht, dass die Lösung mit 27/4 richtig ist. Es wird ja gefragt welche Fläche schließen die Tangente an der Stelle zwei, die Funktion f(x) und die x-Achse (1. Achse) ein. Mit dem einsetzen von -1 und 2 als Integrationsgrenzen rechnet man ja lediglich aus welche Fläche die Funktion f(x) einschließt die Tangente bleibt völlig unberücksichtigt.
Ich denke dass man zuerst mal die Tangente an der Stelle zwei ausrechnen muss. Ich habe hier y = 16x-20 raus. Zeichnet man sich dann das ganze mit dem Taschenrechner wird die Sache denke ich klarer.
Mfg
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Hallo,
also wie Mathe 0 bereits gesagt hat, ihr müsst die Tangente an der Stelle x=2 erstmal ermitteln. Dabei hab ich das analoge Ergebnis [mm] y_{tang}=16*x-20.
[/mm]
Nun gibt es diverse Möglichkeiten der Flächenberechnung. Ich gebe lediglich eine an:
Erläuternd sei nochmal erwähnt, wir suchen die Fläche, welche geometrisch gesehen links von f(x), unten von der Abzisse und rechts von der Tangente begrenzt wird und folgende Eckpunkte besitzt:
P(0,0)
P(2,12)
[mm] P(\bruch{5}{4},0) [/mm] -> Nullstelle der Tangente
Das Flächenintegral könnte beispielsweise so aussehen:
A= [mm] \integral_{0}^{2}{f(x) dx}- \integral_{\bruch{5}{4}}^{2} {y_{tang}(x) dx}
[/mm]
Nach Integration komme ich auf folgendes Ergebnis:
A= [mm] \bruch{20}{3}- \bruch{9}{2}= \bruch{13}{6}
[/mm]
Ich denke, dass das die richtige Lösung ist.
MfG
Ramanujan
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> Hallo,
> also wie Mathe 0 bereits gesagt hat, ihr müsst die
> Tangente an der Stelle x=2 erstmal ermitteln. Dabei hab ich
> das analoge Ergebnis [mm]y_{tang}=16*x-20.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun gibt es diverse Möglichkeiten der Flächenberechnung.
> Ich gebe lediglich eine an:
> Erläuternd sei nochmal erwähnt, wir suchen die Fläche,
> welche geometrisch gesehen links von f(x), unten von der
> Abzisse und rechts von der Tangente begrenzt wird und
> folgende Eckpunkte besitzt:
> P(0,0)
> P(2,12)
> [mm]P(\bruch{5}{4},0)[/mm] -> Nullstelle der Tangente
> Das Flächenintegral könnte beispielsweise so aussehen:
> [mm] A= \integral_{0}^{2}{f(x) dx}- \integral_{\bruch{5}{4}}^{2} {y_{tang}(x) dx}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nach Integration komme ich auf folgendes Ergebnis:
> [mm] A= \bruch{20}{3}- \bruch{9}{2}= \bruch{13}{6}[/mm]
> Ich denke,
> dass das die richtige Lösung ist.
vollkommen richtig!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
> MfG
> Ramanujan
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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