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Hallo,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{n} [/mm] * [mm] \bruch{(n-1)*n*(2n-1)}{6}
[/mm]
(Ob das [mm] \bruch{x}{n} [/mm] so richtig ist weiss ich nicht)
Wie, auf welchem Weg kommt man auf diese Formel ?
In meinen Unterlagen steht darüber nix.
Es ärgert mich, dass diese Formel einfach so im Raum stehen gelassen wird, eine unruhige Nacht habe ich deswegen schon hinter mir, urrrrggghh!
Wenn möglich bitte Schritt für Schritt.
Grüße
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Für welche Funktion soll denn hier (mittels ober- oder Untersummen-Verfahren) der Flächeninhalt unterhalb der Kurve berechnet werden?
Ansonsten ist eine entsprechende "Herleitung" dieser Formel unmöglich (zumindest für Leute ohne Glaskugel wie mich).
Wie lautet denn die Zeile zuvor in Deinem Buch?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Mi 12.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
ich vesuche es mal.
f(x)=x² Intervallgröße ist x=0 bis x=4 in n gleich lange Teilintervalle zerlegen.
Da steht auch z.B:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}i²= \bruch{n*(n-1)*(2n-1)}{6} [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{n}i²= \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
uffff...
Grüße
masaat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 12.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Hallo,
wenn die Angaben nicht ausreichend sind, kann es auch ein beliebiges Beispiel sein, denn vielleicht übersehe ich etwas, auf das ich damit aufmerksam werden könnte ....
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Deine angegebene Formel (die leider auch nicht ganz richtig ist), lässt sich nicht allgemein für jede Funktion herleiten, sondern ist dann schon speziell für die Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] . Und wenn wir hier wirklich das Intervall [mm] $\left[ \ 0 \ ; \ 4 \ \right]$ [/mm] betrachten sollen, muss die "Formel" lauten:
$U(n) \ = \ [mm] \red{\bruch{4}{n}*\left(\bruch{4}{n}\right)^2}*\bruch{(n-1)*n*(2n-1)}{6} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{64}{n^3}}*\bruch{(n-1)*n*(2n-1)}{6}$
[/mm]
Diese "Formel" entsteht durch die Bildung der sogenannten  Untersumme durch Unterteilung des Intervalles [mm] $\left[ \ 0 \ ; \ 4 \ \right]$ [/mm] in $n_$ gleichgroße Intervalle. Dabei entstehen dann insgesamt $n-1_$ schmale Rechtecke (Skizze machen!), deren Flächeninhalte aufsummiert werden.
Jedes dieser Rechtecke hat die Breite [mm] $b_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4-0}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n}$ [/mm] .
Die jeweilige Höhe [mm] $h_i$ [/mm] dieser Rechtecke wird bestimmt durch den Funktionswert, des linken Randes dieser Rechtecke.
$U(n) \ = \ [mm] b_0*h_0+b_1*h_1 [/mm] + [mm] b_2*h_2+...+b_{n-1}*h_{n-1}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{4}{n}*f\left(0*\bruch{4}{n}\right)+\bruch{4}{n}*f\left(1*\bruch{4}{n}\right)+\bruch{4}{n}*f\left(2*\bruch{4}{n}\right)+...+\bruch{4}{n}*f\left((n-1)*\bruch{4}{n}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{4}{n}*\left[f\left(0*\bruch{4}{n}\right)+f\left(1*\bruch{4}{n}\right)+f\left(2*\bruch{4}{n}\right)+...+f\left((n-1)*\bruch{4}{n}\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{4}{n}*\left[\left(0*\bruch{4}{n}\right)^2+\left(1*\bruch{4}{n}\right)^2+\left(2*\bruch{4}{n}\right)^2+...+\left((n-1)*\bruch{4}{n}\right)^2\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{4}{n}*\left[0^2*\left(\bruch{4}{n}\right)^2+1^2*\left(\bruch{4}{n}\right)^2+2^2*\left(\bruch{4}{n}\right)^2+...+(n-1)^2*\left(\bruch{4}{n}\right)^2\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{4}{n}*\left(\bruch{4}{n}\right)^2*\left[0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{64}{n^3}*\left[0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2\right]$
[/mm]
Und die Summenformel [mm] $0^2+1^2+2^2+...+(n-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{i=0}^{n-1}i^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n-1)*n*(2n-1)}{6}$ [/mm] wird nun aus der Formelsammlung abgelesen (das musst Du nun einfach mal so hinnehmen).
Nun wird anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchgeführt, und am Ende solltest Du als Ergebnis erhalten $U \ = \ [mm] \bruch{64}{3}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 12.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
zu tun haben bis....
Grüße
masaat
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Hallo,
wenn man eine Strecke in vier Teile aufteilt erhält man
3 Untersummenrechtecke+ eins mit 0* [mm] \bruch{4}{n} [/mm] also (n-1 Rechtecke)
minus 1 wegen dem 0* [mm] \bruch{4}{n} [/mm] Rechteck (nicht existierend), aber
es müssten doch dann 4 Obersummenrechtecke sein und nicht (n+1) , also 5 ?
Wie erklärt sich das ?
Eigene Skizzen haben mir auch nicht weitergeholfen.
Grüße
masaat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Bei der Obersumme entstehen bei der Aufteilung in $4_$ Abschnitte auch $4_$ Rechtecke, oder allgemein formuliert: aus $n_$ Teilintervallen entstehen auch $n_$ Rechtecke, deren Flächeninhalt aufsummiert werden müssen.
Gruß
Loddar
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Hallo,
[mm] 1.\summe_{i=1}^{ n-1}i²= \bruch{n*[red](n-1)[/red]*(2n-1)}{6} [/mm] und
bei Untersumme, ich dachte Du meintest das (n-1) aus der Formel 1,
[mm] 2.\summe_{i=1}^{n}i²= [/mm]
folglich dachte ich, bei der Obersumme ist es (n+1) wie in der 2. Formel.
Dann hatte ich das falsch gedacht, richtig ?
3. Zur Sicherheit, [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] ist keine allgemeine Formel, herleitbar, nur die herleitung aus f(x²)
P.s.:Wenn es etwas eigenartig erscheinen mag, bitte ich um Verständnis, denn ich habe einfach zu viel in zu kurzer Zeit durchgenommen, Problem der Überlagerung.....
Grüße
masaat
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo masaat!
Die Formel [mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$ [/mm] hat überhaupt nichts mit der Anzahl der Rechtecke bei Ober- bzw. Untersumme zu tun!
Das ist eine allgemein Formel für die Summe der ersten $i_$ Quadratzahlen [mm] $1^2+2^2+3^2+...+i^2$ [/mm] (diese Formel gilt immer und nicht nur für diese Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^2$ [/mm] !).
Die unterschiedlichen Faktoren im Zähler entstehen einzig und allein durch die unterschiedlichen Endwerte der Summe $n_$ bzw. $n-1_$ .
Denn bei Einsetzen der Grenze $n-1_$ in o.g. Formel entsteht die zweite Darstellung:
[mm] $\summe_{i=1}^{\red{n-1}}i^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(\red{n-1})*[(\red{n-1})+1)*[2*(\red{n-1})+1]}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n-1)*n*(2n-2+1)}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n-1)*n*(2n-1)}{6}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mi 12.04.2006 | | Autor: | masaat234 |
Danke
Grüß
masaat
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