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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar f durch:
[mm] f(x)=(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{a^{2}})*x^{2}+(\bruch{1}{a}-1)*x; D=\IR; a\in\IR
[/mm]
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt A(a) der Fläche, die von G(fa) und der x-Achse eingeschlossen wird.
b) Bestimmen Sie a so, dass A(a) einen Extremwert annimmt. Entscheiden Sie, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt. |
Hallo erstmal ,
ich habe als erstes die Funktionsgleichung ausgeklammert:
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{a}-\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{x}{a}-x
[/mm]
Muss ich jetzt nur die Nullstellen berechnen, um die Grenzen zu bekommen und für b) noch die Extremwerte ausrechnen? Also vom Prinzip her verstehe ich die Aufgabe, nur die Bezeichnung für Grenzen nicht (G(fa)).Ist damit die obige Funktionsgleichung gemeint?
Mfg JeremY
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] G(f_{a}) [/mm] ist nur der Graf der Funktion [mm] f_{a}!
[/mm]
Ja und ansonsten so wie du gesagt hast!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JeremY!
> ich habe als erstes die Funktionsgleichung ausgeklammert:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^{2}}{a}-\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{x}{a}-x[/mm]
Das halte ich nicht gerade für sinnvoll ... viel eher noch ein $x_$ ausklammern!
> Muss ich jetzt nur die Nullstellen berechnen, um die
> Grenzen zu bekommen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau!
> und für b) noch die Extremwerte ausrechnen?
Genau, denn in der Lösung von a.) verbleibt ja noch der Parameter $a_$ , der dann in der Teilaufgabe b.) zur Variablen wird.
> Also vom Prinzip her verstehe ich die Aufgabe,
> nur die Bezeichnung für Grenzen nicht (G(fa)).Ist damit die
> obige Funktionsgleichung gemeint?
Siehe Teufel's Antwort ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Hallo Lodar,
kannst du mir bei der Nullstellenberechnung helfen??Bekomm es irgendwie nicht so recht hin.
wäre nett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JeremY!
$ f(x) \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{a^{2}}\right)*x^2+\left(\bruch{1}{a}-1\right)*x [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a}{a^2}-\bruch{1}{a^{2}}\right)*x^2+\left(\bruch{1}{a}-\bruch{a}{a}\right)*x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a-1}{a^2}*x^2+\bruch{1-a}{a}*x$
[/mm]
Wir klammern hier mal den Term [mm] $\bruch{a-1}{a^2}*x$ [/mm] aus:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{a-1}{a^2}*x*\left(x+\bruch{1-a}{a}*\bruch{a^2}{a-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a-1}{a^2}*x*\left(x-\bruch{a-1}{a}*\bruch{a^2}{a-1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a-1}{a^2}*x*\left(x-a\right)$
[/mm]
Kannst Du nun die Nullstellen "bestimmen" bzw. ablesen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Also bis zur ersten Zeile kann ich dir folgen, danach wird es schon problematisch. Und wie ich von deinem Ergebnis jetzt die Nullstellen herleiten kann, weiß ich auch nicht:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo! Wenn du die Funktion von Loddar 0 setzt fliegt schonmal der 1. Faktor raus.
[mm] \bruch{a-1}{a^2}*x*\left(x-a\right)=0
[/mm]
Nun Fallunterscheidung: Ein Produkt wird 0, wenn ein Faktor 0 ist. Nehmen wir mal den 1.
[mm] \bruch{a-1}{a^2}=0
[/mm]
a-1=0
a=1
Wenn a 1 ist wäre die ganze Funktion eine Menge aus Nullstellen ;)
Weiter geht's:
x=0, keine Umformung mehr nörtig.
Und der 3. Faktor
x-a=0
x=a
Nullstellen sind also bei 0 und a.
Und beim Umformen vorher klammert er nur [mm] \bruch{a-1}{a^2}*x [/mm] aus. Deshalb steht in der Klammer nur noch [mm] (x+\bruch{\bruch{1-a}{a}}{\bruch{a-1}{a²}}), [/mm] was er aber vereinfach hat zu [mm] (x+\bruch{1-a}{a}*\bruch{a²}{a-1}) [/mm] und dann zu [mm] (x+\bruch{1-a}{a}*\bruch{-a²}{-(a-1)})
[/mm]
[mm] (x+\bruch{1-a}{a}*\bruch{-a²}{1-a})
[/mm]
[mm] (x+\bruch{1-a}{a}*(-1)*\bruch{a²}{1-a})
[/mm]
[mm] (x-\bruch{1-a}{a}*\bruch{a²}{1-a})
[/mm]
Dann 1-a gekürzt und ein a gekürzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
[mm] \bruch{a-1}{a^{2}}=0
[/mm]
du hast a-1=0
a=1 raus
nur frag ich mich wie du darauf kommst denn im Nenner kürzt sich ein a weg im Zähler fällt es ganz weg. Müsste dann nicht so lauten:
[mm] -\bruch{1}{a} [/mm] dann mal (-1) und a ist gleich 0????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JeremY!
[mm]\bruch{a-1}{a^{2}}=0[/mm]
Hier wurde die Gleichung mit [mm] $a^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ multipliziert.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
| Aufgabe | Nullstelle
Fläche |
Also langsam wird es mir schon peinliich:),aber wieso kann man nicht einfach kürzen??
Und meine zweite Frage ist, welche der Terme würdest du mir für die Inegralrechnung empfehlen, um am schnellsten zur gesuchten Fläche zu kommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Ah kann es sein weil a [mm] \in \IR [/mm] nur sein kann und es daher nicht null wwerden kann???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, [mm] \IR [/mm] beinhaltet auch 0, aber da in der Funktion öfters a im Nenner steht darf es nicht 0 sein (Division durch 0).
Und aus Summen in Brüchen kann man nicht einfach kürzen!
[mm] \bruch{2+2}{2}\not=\bruch{1+2}{1}
[/mm]
Und die Fläche ist jetzt das bestimmte Integral der Funktion zwischen den Nullstellen (0 und a). Da a aber jede relle Zahl sein kann, weiß man ja nicht, was jetzt obere und was untere Grenze sein soll. Deshalb solltest du den Betrag vom bestimmten Integral wählen, egal wie rum du die Grenzen setzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Oh mann heute ist echt nicht mein Tag...Aus Summen kürzen nur die Dummen:/...Ähm also die Grenzen müssen von 0 bis a gehen, da [mm] a\in \Ir+ [/mm] ist hab ich vergessen in die aufgabenstellung reinzuschreiben naja ich glaube jetzt reichts langsam mit fragen gibt ja auch noch andere leute hehe
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ist doch ok ;) ok, wenn a nur positiv ist, dann ist a halt obere Grenze. Schaffst du es dann zu berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Ja das ist kein Problem;)...wenn ich ein Problem hab, dann sind es meistens die Termumformungen hehe naja ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Also ich hab jetzt schon verstanden wie du zu deinem ergebnis kommst, nur versteh ich die Umformung vom 4. zum 5. schritt nicht.wie kannst du einfach aus + ein - machen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JeremY!
> nur versteh ich die Umformung vom 4. zum 5. schritt nicht.
> wie kannst du einfach aus + ein - machen
Ich habe dafür auch das Vorzeichen im Zähler des anschließenden Bruches umgedreht.
Rein formal habe ich bei dem Bruch [mm] $\bruch{1-a}{a}$ [/mm] den Term $(-1)_$ ausgeklammert:
[mm] $\bruch{1-a}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)*(-1+a)}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)*(a-1)}{a} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\bruch{a-1}{a} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{a-1}{a}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Ich weiß nicht, aber ich glaube du hast ein Vorzeichenfehler gemacht in der Eile:-Dkann auch sein dass ich mich Irre.(4-5Schritt)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Ja und wieso?`du Hättest es doch so lassen können oder hast du das wegen dem anschließen wegkürzen gemacht?Wenn ich die Nullstellen ausrechne/ablese, komme ich auf x1=0 und x2=1 ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo JeremY!
> Ja und wieso?'du Hättest es doch so lassen können oder
> hast du das wegen dem anschließen wegkürzen gemacht?
Da war mein Hintergdanke, dass ich den Funktionsterm weitestgehend faktorisiert habe, um die Nullstellen "ablesen" zu können.
> Wenn ich die Nullstellen ausrechne/ablese, komme ich auf x1=0
> und x2=1 ist das richtig?
Das stimmt nicht ganz ... siehe hierzu Teufel's Antwort.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mi 20.09.2006 | | Autor: | JeremY |
Hehe...dank Teufel´s Antwort hab ich es jetzt verstanden...
Vielen Dank ihr zwei;)
bis demnächst
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Immer wieder gerne ;) wir sind halt ein eingespieltes Team :D
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