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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 05.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Berechnen Sie durch partielle Integration:
f(x) = (3x² - 2) ln x |
Hallo,
wir bekommen leider meistens etwas anderes raus :(..
f(x) = [mm] (3x^2-2) [/mm] ln x = lnx * [mm] 3*x^2 [/mm] - ln x *2
F(x) = 3 * [mm] \integral_{a}^{b}{ln x * x^2 dx} [/mm] - 2 * [mm] \integral_{a}^{b}{ln x dx}
[/mm]
= 3 ( ln x * [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} * \bruch{x^3}{3}dx} [/mm] ) - [mm] \integral_{a}^{b}{lnx * 2 dx}
[/mm]
= 3 ( lnx * [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] - lnx [mm] *\bruch{x^4}{4} [/mm] ) - lnx * 2x - [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} * 2x dx}
[/mm]
= 3 ( lnx * [mm] \bruch{x^3}{3} [/mm] - lnx [mm] *\bruch{x^4}{4} [/mm] ) - lnx * 2x - ln x * [mm] x^2
[/mm]
= 3lnx [mm] (\bruch{x^3}{3} [/mm] - [mm] \bruch{x^4}{4}) [/mm] - lnx ( 2x - [mm] x^2)
[/mm]
rauskommen soll:
F(x) = ( x − 2 x) ln x − [mm] \bruch{x^3}{3}+ [/mm] 2x + c
Muss bei einem Integral der Form [mm] \Integral{}{}{2 x dx} [/mm] die zwei rausgezogen werden
also 2* [mm] \ntegral{}{}{x dx} [/mm] ?
Vielen Dank für Hilfe
Grüße
Lars und Gabriel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 05.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Servus Lars!
Hmmm... ich habe noch eine dritte Lösung für Dich! 
Du suchst (so verstehe ich Deine Aufgabe) also eine Stammfunktion
[mm]
F(x)=\integral (3x^2-2)\cdot\ln(x) dx
[/mm]
Den Hinweis würde ich so auswerten: Logarithmus ableiten und Polynom
integrieren!
[mm]
F(x)=[(x^3-2x)\cdot\ln(x)]-\integral (x^3-2x)\cdot\bruch{1}{x} dx
[/mm]
[mm]
=(x^3-2x)\cdot\ln(x)-\bruch{1}{3}x^3-2x+c
[/mm]
Liebe Grüße sendet Dir
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Moin,
> Du suchst (so verstehe ich Deine Aufgabe) also eine
> Stammfunktion
ja :)
> [mm]
F(x)=\integral (3x^2-2)\cdot\ln(x) dx
[/mm]
> Den Hinweis würde
> ich so auswerten: Logarithmus ableiten und Polynom
> integrieren!
Wie Polyom integrieren ?
Ist damit gemeint:
u = ln(x), u' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
v = [mm] (x^3 [/mm] - 2x ), v' = [mm] 3x^2-2
[/mm]
Weil das habe ich ja auch gemacht..
> [mm]
F(x)=[(x^3-2x)\cdot\ln(x)]-\integral (x^3-2x)\cdot\bruch{1}{x} dx
[/mm]
>
> [mm]
=(x^3-2x)\cdot\ln(x)-\bruch{1}{3}x^3-2x+c
[/mm]
>
Nun verstehe ich nicht wieso man hier das Polynom nicht wie folgt integriert:
[mm] \integral (x^3-2x) [/mm] dx = [mm] \bruch{x^4}{4} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] +c
Ist das gegebene Ergebnis jetzt falsch ^^ ?
F(x) = ( x − 2 x) ln x − $ [mm] \bruch{x^3}{3}+ [/mm] $ 2x + c
Danke für Hilfe Grüße
Lars
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 06.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Lars!
Mit dem u und v sind wir uns einig. Schwierig wird's erst
weiter hinten.
Hier ist noch ein weiterer Zwischenschritt:
[mm]
F(x)=[(x^3-2x)\cdot\ln(x)]-\integral [(x^3-2x)\cdot\bruch{1}{x}]\; dx
[/mm]
[mm]
=[(x^3-2x)\cdot\ln(x)]-\integral (x^2-2)\; dx
[/mm]
[mm]
=(x^3-2x)\cdot\ln(x)-\bruch{1}{3}x^3-2x+c
[/mm]
Ich multipliziere einfach nur
[mm](x^3-2x)\cdot \bruch{1}{x}=(x^2-2)[/mm]
aus. Mehr steckt nicht dahinter (außer dass ich insgeheim davon
ausgegangen bin, dass [mm]x\in\IR^+[/mm])
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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