Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 05.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Die Funktion
[mm] \integral_{2}^{1}{\bruch{x^3}{\wurzel{x^2-1}} dx}
[/mm]
soll Integriert werden. |
Hallo wir finden einfach keinen ansatz.
wenn wir [mm] x^2-1substituieren [/mm] haben wird das problem nur auch [mm] x^3 [/mm] verschoben, dann habe wir dort [mm] \wurzel{(z+1)^3}
[/mm]
Übersehen wir vielleicht einen Spezialfall.
Vielen Dank,
Gabriel & Lars
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 05.08.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo ihr beiden!
Das Ganze lässt sich durch dreifache partielle Integration berechnen.
Das wird zwar etwas länger, aber das geht auf jeden Fall.
Vielleicht ist sogar eine Substitution möglich, da sehe ich aber grade nichts passendes.
Gruß ONeill
|
|
|
| |
|
Hallo Gabriel und Lars,
eure Substitution funktioniert doch ganz gut:
Mit [mm] z:=x^2-1 [/mm] ist [mm] x=\sqrt{z+1} [/mm] [also [mm] x^3=(z+1)\sqrt{z+1}] [/mm] und damit [mm] \frac{dx}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{z+1}}, [/mm] also [mm] dx=\frac{dz}{2\sqrt{z+1}}
[/mm]
Alles mal ersetzen liefert:
[mm] \int{\frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}dx}=\int{\frac{(z+1)\sqrt{z+1}}{\sqrt{z}}\frac{dz}{2\sqrt{z+1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{z+1}{\sqrt{z}}dz}=\frac{1}{2}\int{\left(\frac{z}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)dz}=....
[/mm]
Dann Resubstituieren und die Grenzen einsetzen...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 06.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Moin,
> [mm]dx=\frac{dz}{2\sqrt{z+1}}[/mm]
x = [mm] \wurzel{z+1}
[/mm]
[mm] z= x^2+1 , z' = 2x = 2* \wurzel{z+1} [/mm]
Man muss beider Substitution das Integral mit der Ableitung des ersetzten Wertes multiplizieren.. ok swoeit alls verstanden..
Nur woher kommt die 1 :) bei dx -> [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{z+1}
}
[/mm]
Danke Grüße
Lars
|
|
|
| |
|
Hallo
Leite doch mal $ [mm] \wurzel{z+1} [/mm] $ mit Hilfe der Kettenregel nach z ab.
Dann wirst du auch sehen, dass die "1" dort hingehört.
Gruß
Reinhold
|
|
|
|
