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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
| Aufgabe | | Ich hab hier ne Aufgabe mit der ich nicht klar komme. Kann mir da bitte jemand helfen. Vielen Dank im Vorraus. |
Aufgabe:
Welches Ergebniss kommt beim Integral:
[mm] \integral_{z=0}^{z=\wurzel{R^{2}-r^{2}}}r*dz
[/mm]
da kommt doch als Ergebniss raus:
= $ [mm] \wurzel{R^2-r^2} [/mm] $ oder??
Und jetzt muss ich das Integral
$ [mm] \integral_{r=0}^{r=R}\wurzel{R^2-r^2}dr [/mm] $
lösen. Wenn das Ergebniss von oben überhaupt stimmt??
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Hallo Excel!
Die genaue Aufgabenstellung kennst nur Du, und musst uns diese auch hier korrekt widergeben.
> Welches Ergebniss kommt beim Integral: [mm]\integral_{z=0}^{z=\wurzel{R^{2}-r^{2}}}r*dz[/mm]
>
> da kommt doch als Ergebniss raus: = [mm]\wurzel{R^2-r^2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da nach $z_$ integriert werden soll, lautet die Stammfunktion [mm] $\red{r}*z$ [/mm] und das Ergebnis des Integrals somit auch [mm] $\red{r}*\wurzel{R^2-r^2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
| Aufgabe | | Ich wollte meinem Bruder zeigen, dass man das Volumen eines Kreises anhand der Dreifachintegralrechnung beweisen kann. |
Die Aufgabe ist so:
V= [mm] \integral_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \integral_{r=0}^{r=R} \integral_{z=0}^{z=\wurzel{R^2-r^2}}r*dz*dr*d\phi
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das geht ja auch, nur wenn du von 0 bis R integrierst kriegst du nur die Halbkugel. Ein Kreis hat nur ne Fläche!
das Integral über [mm] r*\wurzel{R^2-r^2} [/mm] ergibt [mm] -1/3*(R^2-r^2)^{3/2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
Und wie würde das gehen um den kompletten Kreis zu Berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal: Das ist ne Kugel, kein Kreis!!
entweder verdoppeln oder von -R bis +R statt von 0 bis R integrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
wie integriere ich
[mm] \integral_{-R}^{R}r\wurzel{R^2-r^2}dr [/mm] ??
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Hallo Excel!
Substituiere $t \ := \ [mm] R^2-r^2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
das hatte ich noch nicht, wie läuft das ab??
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Hallo,
Du hast dein Integral
[mm] $2*\integral_{0}^{R}r*\wurzel{R^2-r^2} \;dr$ [/mm] .
Dann stellst Du die Substitutionsgleichungen auf
[mm] $t=R^2-r^2$ [/mm] und [mm] $\bruch{dt}{dr} [/mm] = -2*r$ also [mm] $dr=-\bruch{1}{2r}dt$
[/mm]
, was Du dann in dein Integral einsetzt:
[mm] $2*\integral_{0}^{R}-\bruch{1}{2r}*r*\wurzel{t} \;dt [/mm] = [mm] 2*\integral_{0}^{R}-\bruch{1}{2}*\wurzel{t} \;dt=-\integral_{0}^{R}\wurzel{t} \;dt [/mm] $
$= [mm] \left[-\bruch{2}{3}*\wurzel{t^3} \right]_{0}^{R}= -\bruch{2}{3}*\left[\wurzel{(R^2-r^2)^3} \right]_{0}^{R}$ [/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
[mm] \integral_{-R}^{R}r\wurzel{R^2-r^2}dr
[/mm]
Substitution: [mm] t=R^2-r^2; \bruch{dt}{dr}=-2r; dr=-\bruch{1}{2r}dt
[/mm]
= [mm] \integral_{-R}^{R}-\bruch{1}{2r}r\wurzel{t}dt
[/mm]
= [mm] \integral_{-R}^{R}-\bruch{1}{2}\wurzel{t}dt
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}\integral_{-R}^{R}\wurzel{t}dt
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}[\bruch{2}{3}\wurzel{t^3}]
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3}[\wurzel{(R^2-r^2)^3}]
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3}[\wurzel{(R^2-R^2)^3}]-[\wurzel{(-R^2+R^2)^3}]
[/mm]
jetzt komm ich nicht mehr weiter.
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Hallo Excel,
> stimmt das so??
> [mm]\integral_{-R}^{R}r\wurzel{R^2-r^2}dr[/mm]
Hier liegt m. E. ein Fehler. Wenn ich nicht irre, kann der Radius nicht negativ sein; das ergäbe keinen Sinn. Deshalb musst Du die Halbkugel berechnen und mit 2 multiplizieren, um das Volumen der Vollkugel zu erhalten. Also:
[mm]2*\integral_{0}^{R}r\wurzel{R^2-r^2}\;dr[/mm]
> Substitution: [mm]t=R^2-r^2; \bruch{dt}{dr}=-2r; dr=-\bruch{1}{2r}dt[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-R}^{R}-\bruch{1}{2r}r\wurzel{t}dt[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-R}^{R}-\bruch{1}{2}\wurzel{t}dt[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2}\integral_{-R}^{R}\wurzel{t}dt[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{2}[\bruch{2}{3}\wurzel{t^3}][/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{3}[\wurzel{(R^2-r^2)^3}][/mm]
Hier müsste dann stehen
[mm]-\bruch{2}{3}\left[\wurzel{(R^2-r^2)^3}\right]_{0}^{R}[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{1}{3}[\wurzel{(R^2-R^2)^3}]-[\wurzel{(-R^2+R^2)^3}][/mm]
>
> jetzt komm ich nicht mehr weiter.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Excel |
vielen vielen Dank!!!
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