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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 Mo 07.04.2008
Autor: babsbabs

Aufgabe
Man berechne:

[mm] \integral_{a}^{b}{f(\bruch{e^x}{e^2^x-e^x-6}) dx} [/mm]

Weiß leider nicht wie ich hier anfangen soll - ich nehme an ich sollte was substituieren...

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das Beispiel angehen soll

Danke

        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mo 07.04.2008
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Barbara,

ja, Substitution ist schon der richtige Ansatz, substituiere hier:

$u:=e^x$, dann ist $u'=\frac{du}{dx}=e^x$, also $dx=\frac{du}{e^x}$

Damit bekommst du dann $\int{\frac{e^x}{e^{2x}-e^x-6} \ dx}=\int\frac{e^x}{u^2-u-6} \ \frac{du}{e^x}}=\int{\frac{1}{u^2-u-6} \ du}$

Nun mache eine Partialbruchzerlegung:

Ansatz: $\frac{1}{u^2-u-6}=\frac{1}{(u+2)(u-3)}=\frac{A}{u+2}+\frac{B}{u-3}$

Dann kannst du das Integral in die Summe zweier Integrale aufteilen und diese elementar integrieren.

Am Schluss das Resubstituieren nicht vergessen ;-)


LG

schachuzipus

Bezug
                
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mo 07.04.2008
Autor: babsbabs

hallo

ich danke für die rasche Antwort - hab noch eine Frage dazu

Warum verschwindet daß [mm] e^x [/mm] über dem Bruchstrich?

Zur Partialbruchzerlegung:

Ich würde jetzt so weitermachen - möchte nur wissen ob das so passt:

[mm] \bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3} [/mm]

das ergibt

1 - A(u-3) + B(u+2)

umgeformt:

1 = u(A+B) + (-3A+2B)

das ergibt folgende Gleichungen: A+B = 1 un d -3A+2B = 0

dann komm ich auf folgende Werte:

A = [mm] \bruch{2}{5} [/mm]
B = [mm] \bruch{3}{5} [/mm]

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2}{5(u+2)} + \bruch{3}{5(u-3)} du} [/mm]

wenn ich die Koeffizienten vorziehe ergibt das (ich hoffe das geht so)

[mm] \bruch{2}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u+2} du} [/mm] +
[mm] \bruch{3}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u-3} du} [/mm]

= [mm] \bruch{2}{5}ln [/mm] (u+2) + [mm] \bruch{3}{5} [/mm] ln (u-3)

und rücksubstituieren


= [mm] \bruch{2}{5}ln (e^x+2) [/mm] + [mm] \bruch{3}{5} ln(e^x-3) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mo 07.04.2008
Autor: MathePower

Hallo babsbabs,

> hallo
>  
> ich danke für die rasche Antwort - hab noch eine Frage
> dazu
>  
> Warum verschwindet daß [mm]e^x[/mm] über dem Bruchstrich?

Wegen der gemachten Substitution [mm]u=e^{x}[/mm].

>
> Zur Partialbruchzerlegung:
>
> Ich würde jetzt so weitermachen - möchte nur wissen ob das
> so passt:
>
> [mm]\bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3}[/mm]
>  
> das ergibt
>
> 1 - A(u-3) + B(u+2)
>  
> umgeformt:
>
> 1 = u(A+B) + (-3A+2B)
>  
> das ergibt folgende Gleichungen: A+B = 1 un d -3A+2B = 0

Korrekt muss es heissen:

[mm]A+B=\red{0}[/mm]
[mm]-3A+2B=\red{1}[/mm]


>  
> dann komm ich auf folgende Werte:
>  
> A = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>  B = [mm]\bruch{3}{5}[/mm]


Daher bekommt man auch andere Werte für A,B.

>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2}{5(u+2)} + \bruch{3}{5(u-3)} du}[/mm]
>  
> wenn ich die Koeffizienten vorziehe ergibt das (ich hoffe
> das geht so)
>  
> [mm]\bruch{2}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u+2} du}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u-3} du}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{2}{5}ln[/mm] (u+2) + [mm]\bruch{3}{5}[/mm] ln (u-3)
>  
> und rücksubstituieren
>
>
> = [mm]\bruch{2}{5}ln (e^x+2)[/mm] + [mm]\bruch{3}{5} ln(e^x-3)[/mm]  

Gruß
MathePower

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mo 07.04.2008
Autor: babsbabs

auf die gefahr hin lästig zu erscheinen - aber ich wills jetzt ganz genau wissen :-)

>  
> Korrekt muss es heissen:
>  
> [mm]A+B=\red{0}[/mm]
>  [mm]-3A+2B=\red{1}[/mm]
>  

danke für die korrektur

wie bestimme ich den wert richtig auf der rechten seite ( in dem fall 0 und 1)



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Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mo 07.04.2008
Autor: Maggons

Hallo!

Das folgt aus dem Zähler deiner Funktion.

Du hast ja selbst folgende Gleichung aufgestellt:

[mm] \bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3} [/mm]

Das nun auf den Hauptnenner Gebracht ergäbe:

[mm] \bruch{A*(u-3)+B*(u+2)}{(u-3)(u+2)} [/mm]

uA-3A+uB+2b

Nun schaust du in deinen Zähler der zu integrierenden Funktion und schaust "wie oft du u brauchst":

0 mal, weil kein u im Zähler vorkommt; dann ziehst du alle Faktoren mit einem u heraus; diese müssen 0 ergeben.

Also A+B=0

Sonst gibt es noch das absolute Glied; die 1 im Zähler, welche auch gebildet werden muss.

Es bleiben übrig:

2B-3A=1


Lg

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