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Integralrechnung: Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

Aufgabe
Berecnen Sie die folgenden unbestimmten INtegrale mit Hilfe des Substitutionsverfahrens:


[mm] \integral [/mm] arctanx dx


Wie muss ich die AUfgabe angehen. Was soll ich substituieren und wieso? :)

        
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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Mi 13.05.2009
Autor: leduart

Hallo
wieso ist ne gute frage. kannst du denn ohne substitution loesen?
wie ist besser. da du arctan nicht kannst ist doch naheliegend, x=tant zu setzen?
Gruss leduart

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

nein, leider nicht.. ich soll nur mit substitution lösen..

wenn ich tanu=x setze bekommeich !/cos^2u du = dx

[mm] \integral [/mm] arctan tanu * [mm] 1/cos^2 [/mm] u du

dann kürzen sich arctan und tan weg und ich bekomme

[mm] \integral [/mm] u [mm] *1/cos^2 [/mm] u du

wie nun weiter?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Mi 13.05.2009
Autor: Teufel

Hi!

(tanx)'=1+tan²x

Das hilft dir sicher, es ist das gleiche wie [mm] \bruch{1}{cos²x}, [/mm] nur anders geschrieben. Wenn du die 1 bei [mm] \bruch{1}{cos²x} [/mm] durch sin²x+cos²x ersetzt, siehst du es schon.

[anon] Teufel

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

ja aber ich doof kopp komme nicht weiter...

habe [mm] 1/cos^2 [/mm] u durch 1+tan^2u ersetzt und habe dann dort stehen

[mm] \integral [/mm] arctan tan u *(1+tan^2u) du
arctan*tanu = u also
[mm] \integral [/mm] u*(1+tan^2u)du

und nun?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mi 13.05.2009
Autor: Teufel

Mach partiell weiter!

u ableiten, 1+tan²u integrieren.

[anon] Teufel

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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

auch wenn cih denke dass ich es nicht mit partieller machen soll , mach ich es mal trotzdem so weiter wie ud es gesagt hast

dann habe ich:
tan u * u - [mm] \integral [/mm] tan u du

tan u = x
u= arctanx
also:

x*arctanx - (-ln |cosu|)
x*arctanx + ln |cosarctanx|

das ist aber nicht richtig??? wo ist der fehler?

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mi 13.05.2009
Autor: Teufel

Doch, das ist sicher das was du suchst, nur "unschöner" geschrieben.
[mm] ln|cos(arctanx)|=-\bruch{1}{2}ln|x^2+1|, [/mm] wobei du die Betragsstriche auch weglassen kannst in dem Fall, da cos(arctanx)>0 und [mm] x^2+1>0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm]

[anon] Teufel

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Integralrechnung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:35 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

ok danke dir

$ [mm] ln|cos(arctanx)|=-\bruch{1}{2}ln|x^2+1| [/mm] $ woher weiss man sowas? wo steht das :)

und gibt es denn gar keine möglichkeit es nur durch substitution zu rechnen?

danke

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Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 13.05.2009
Autor: Teufel

Wenn man bei [mm] -\integral_{}^{}{tanu du} [/mm] wieder zurückersetzt, kommt man auf [mm] -\integral_{}^{}{\bruch{x}{1+x^2}dx}, [/mm] was dann [mm] -\bruch{1}{2}ln(x^2+1) [/mm] ist. Zumindest bin ich so drauf gestoßen, gibt aber sicher noch bessere Weisen das herzuleiten.

[anon] Teufel

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Integralrechnung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 15.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Integralrechnung: partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Mi 13.05.2009
Autor: Roadrunner

Hallo Daniel!


Viel schneller bist Du mittels partieller Integration:

[mm] $$\integral{\arctan(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\arctan(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß vom
Roadrunner


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Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Mi 13.05.2009
Autor: Danielt23

ich weiss darf ich aber nicht :(

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