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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 17.01.2010 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen. Wer kann mir bei folgender Aufgabe helfen?
Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR, [/mm] a [mm] \le \delta \le [/mm] b und
[mm] f(x)=\begin{cases} 1,falls x=\delta & \mbox{} \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f Riemann - integrierbar ist und bestimmen Sie [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Wie muss ich vorgehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 17.01.2010 | | Autor: | mausieux |
Eine Funktion ist doch dann Riemann - integrierbar, wenn die Obersumme gleich der Untersumme ist, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 17.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Das Integral ist natürlich 0.
Zeigen kannst du das mit der Unterlösung 0 und der Oberlösung
[mm] \psi(x)=\begin{cases} 0, &\mbox{für } a\le x\le\delta-\epsilon \mbox{ oder } \delta+\epsilon\le x\le b \\ \bruch{1}{\epsilon}x+1-\bruch{\delta}{\epsilon} &\mbox{für } \delta-\epsilon\le x\le\delta \\ -\bruch{1}{\epsilon}x+1+\bruch{\delta}{\epsilon} &\mbox{für } \delta\le\x\delta+\epsilon \end{cases}
[/mm]
Das ist so eine Hütchenfunktion, die 1 bei [mm] \delta [/mm] ist und dann linear bis [mm] \delta-\epsilon [/mm] und [mm] \delta+\epsilon [/mm] auf 0 abfällt und dann 0 bleibt.
Diese kannst du jetzt mal integrieren und machst dann den Grenzübergang zu [mm] \epsilon\rightarrow0 [/mm] und dann hast du quasi das Integral von deiner ursprünglichen Funktion.
[mm] \psi [/mm] ist sicher Riemann integrierbar, da diese Funktion stetig ist.
Mit [mm] \|\psi-0\|\rightarrow0 [/mm] hast du dann die Riemann-Integrierbarkeit von f(x).
Schönen Gruß
Max
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