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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 06.12.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Inhalt jener endlichen Fläche, die von den Funktionen f1: [mm] y=x^2 [/mm] und f2: [mm] y=-x^2+8 [/mm] eingeschlossen wird.
Berechnen Sie das Volumen jenes Körpers, der bei der Rotation um die y-Achse entsteht. |
Hallo,
bei der Rotation um die y-Achse blicke ich leider nicht ganz durch.
Ich habe zunächst einmal die Fläche ausgerechnet:
[mm] x^2=-x^2+8 \Rightarrow -2x^2+8
[/mm]
Die Schnittpunkte erhalte ich mit:
[mm] -2x^2+8 [/mm] /-8
[mm] -2x^2=-8 [/mm] /:2
[mm] -x^2=-4 [/mm] / [mm] \pm\wurzel{}
[/mm]
[mm] x_1=2
[/mm]
[mm] x_1=-2
[/mm]
Durch Einsetzen in f1: [mm] y=x^2 [/mm] erhalte ich y [mm] \Rightarrow S_1=(-2/4) S_2=(2/4)
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{0}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow -\bruch{32}{8}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow \bruch{32}{8}
[/mm]
A_ges= [mm] |A_1|+|A_2| [/mm] = 21,33 FE
Stimmt das?
Ich habe in einer Notiz stehen, dass man mit [mm] 2*\pi*\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx} [/mm] angeblich auch auf die Fläche kommt. Ist das nicht das Volumen bei der Rotation um die x-Achse? Kommt mir irgendwie komisch vor...
Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
Ich habe habe hier stehen:
[mm] f_1: x^2=y [/mm]
[mm] f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y
[/mm]
[mm] x^2=8-y
[/mm]
Warum löst man da nach [mm] x^2 [/mm] auf?
Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze in:
[mm] f_1 [/mm] V= [mm] \integral_{0}^{4}{y dx}
[/mm]
[mm] f_2 [/mm] V= [mm] \integral_{4}^{8}{8-y dx}
[/mm]
Was setze ich da für y ein? Und warum im Intervall zwischen 4 und 8?
Besten Dank für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Inhalt jener endlichen Fläche, die von
> den Funktionen f1: [mm]y=x^2[/mm] und f2: [mm]y=-x^2+8[/mm] eingeschlossen
> wird.
> Berechnen Sie das Volumen jenes Körpers, der bei der
> Rotation um die y-Achse entsteht.
> Hallo,
>
> bei der Rotation um die y-Achse blicke ich leider nicht
> ganz durch.
>
> Ich habe zunächst einmal die Fläche ausgerechnet:
>
> [mm]x^2=-x^2+8 \Rightarrow -2x^2+8[/mm]
>
> Die Schnittpunkte erhalte ich mit:
>
> [mm]-2x^2+8[/mm] /-8
> [mm]-2x^2=-8[/mm] /:2
> [mm]-x^2=-4[/mm] / [mm]\pm\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_1=2[/mm]
> [mm]x_1=-2[/mm]
>
> Durch Einsetzen in f1: [mm]y=x^2[/mm] erhalte ich y [mm]\Rightarrow S_1=(-2/4) S_2=(2/4)[/mm]
>
> [mm]A_1[/mm] = [mm]\integral_{-2}^{0}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow -\bruch{32}{8}[/mm]
>
> [mm]A_2[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}=-2*\bruch{x^3}{3}+8x \Rightarrow \bruch{32}{8}[/mm]
Beide male muß da [mm] \bruch{32}{3} [/mm] stehen !!
>
> A_ges= [mm]|A_1|+|A_2|[/mm] = 21,33 FE
>
> Stimmt das?
>
>
> Ich habe in einer Notiz stehen, dass man mit
> [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{-2x^2+8 dx}[/mm] angeblich auch auf die
> Fläche kommt.
Das ist Quatsch !
Ist das nicht das Volumen bei der Rotation
> um die x-Achse?
Fast. Das Volumen ist gegeben durch
[mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{(-2x^2+8)^2 dx}[/mm]
FRED
> Kommt mir irgendwie komisch vor...
>
>
> Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
> Ich habe habe hier stehen:
>
> [mm]f_1: x^2=y[/mm]
>
> [mm]f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y[/mm]
> [mm]x^2=8-y[/mm]
>
> Warum löst man da nach [mm]x^2[/mm] auf?
>
> Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze
> in:
>
> [mm]f_1[/mm] V= [mm]\integral_{0}^{4}{y dx}[/mm]
>
> [mm]f_2[/mm] V= [mm]\integral_{4}^{8}{8-y dx}[/mm]
>
> Was setze ich da für y ein? Und warum im Intervall
> zwischen 4 und 8?
>
> Besten Dank für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 06.12.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Und das Volumen bei der Rotation um die y-Achse?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
>
> Wie rotiere ich die Fläche aber nun um die y-Achse?
> Ich habe habe hier stehen:
>
> [mm]f_1: x^2=y[/mm]
>
> [mm]f_2: y=-x^2+8 /+x^2-y[/mm]
> [mm]x^2=8-y[/mm]
>
> Warum löst man da nach [mm]x^2[/mm] auf?
Nun, weil die Formel bei Rotation einer
Funktion f um die y-Achse lautet:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2}\left(y\right) \ dy}[/mm]
> Und wie berechnet man dann das Volumen wenn ich einsetze
> in:
>
> [mm]f_1[/mm] V= [mm]\integral_{0}^{4}{y dx}[/mm]
Hier muss es doch lauten: [mm]V_{1}= \integral_{0}^{4}{y \ d\blue{y}}[/mm]
>
> [mm]f_2[/mm] V= [mm]\integral_{4}^{8}{8-y dx}[/mm]
Dito hier: [mm]V_{2}= \integral_{4}^{8}{8-y \ d\blue{y}}[/mm]
>
> Was setze ich da für y ein? Und warum im Intervall
> zwischen 4 und 8?
[mm]y=4[/mm] ist der Schnittpunkt der Funktionen [mm]x^{2}=y[/mm] und
[mm]x^{2}=8-y[/mm]
[mm]y=8[/mm] ist der Funktionswert der Funktion [mm]x^{2}=8-y[/mm]
an der Stelle x=0.
> Besten Dank für die Hilfe
Gruss
MathePower
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