Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Aufgabe mit (richtigem?) Lösungsweg:
[mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{4x\operatorname{tan}^5 \bruch{x^2}{3}}{\cos^2\bruch{x^2}{3}}}=\integral_{0}^{\wurzel{3}}\operatorname{tan}^6\bruch{x^2}{3}=\operatorname{tan}^6\bruch{\pi}{3}-\operatorname{tan}^6 0=27[/mm] |
Integrationstafel:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\operatorname{tan}^n ax}{\cos^2 ax}}={\bruch{\operatorname{tan}^{n+1}ax}{(n+1)a}}[/mm]
Ich glaube, das oben die Integrationstafel benutzt wurde, was wir zwar benutzen dürfen, aber nur um das Ergebnis vorehr zu wissen, damit wir nicht den falschen weg einschalgen beim Substituieren oder der partiellen Integration.
Also ich habe keine Ahnung, was man da genau gemacht hat, und ich brauch vonm euch, wenn ihr so lieb seid den Ansatz bzw. eine Erklärung, was da gemacht wurde.
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Hallo gotoxy86,
> Aufgabe mit (richtigem?) Lösungsweg:
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{4x\operatorname{tan}^5 \bruch{x^2}{3}}{\cos^2\bruch{x^2}{3}}}=\integral_{0}^{\wurzel{3}}\operatorname{tan}^6\bruch{x^2}{3}=\operatorname{tan}^6\bruch{\pi}{3}-\operatorname{tan}^6 0=27[/mm]
>
> Integrationstafel:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\operatorname{tan}^n ax}{\cos^2 ax}}={\bruch{\operatorname{tan}^{n+1}ax}{(n+1)a}}[/mm]
>
> Ich glaube, das oben die Integrationstafel benutzt wurde,
> was wir zwar benutzen dürfen, aber nur um das Ergebnis
> vorehr zu wissen, damit wir nicht den falschen weg
> einschalgen beim Substituieren oder der partiellen
> Integration.
>
> Also ich habe keine Ahnung, was man da genau gemacht hat,
> und ich brauch vonm euch, wenn ihr so lieb seid den Ansatz
> bzw. eine Erklärung, was da gemacht wurde.
Es ist doch
[mm]\bruch{1}{\cos^{2}\left(x\right)}=1+\tan^{2}\left(x\right)[/mm]
Und das ist die Ableitung des [mm]\tan\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Dann sind das aber nicht:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}\operatorname{tan}^6\bruch{x^2}{3}
[/mm]
sondern
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}4x\operatorname{tan}^5\bruch{x^2}{3}+\operatorname{tan}^2\bruch{x^2}{3}
[/mm]
Ich benötige schon etwas mehr Informationen, sonst ist diese Integral, ein Mysterium für mich.
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Hallo gotoxy,
> Dann sind das aber nicht:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}\operatorname{tan}^6\bruch{x^2}{3}[/mm]
> sondern
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}4x\operatorname{tan}^5\bruch{x^2}{3}+\operatorname{tan}^2\bruch{x^2}{3}[/mm]
>
> Ich benötige schon etwas mehr Informationen, sonst ist
> diese Integral, ein Mysterium für mich.
Um das Integral
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{\bruch{4x\operatorname{tan}^5 \bruch{x^2}{3}}{\cos^2\bruch{x^2}{3}}}[/mm]
zu lösen, benötigst Du die Substitution
[mm]u=\tan\left(\bruch{x^{2}}{3}}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}4x u^5+u^2{3}
[/mm]
Ein "x"! [mm] o_O
[/mm]
Die Aufgabe ist nur da um mich fertig zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Sa 05.02.2011 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{3}}4x u^5+u^2{3}[/mm]
>
> Ein "x"! [mm]o_O[/mm]
>
> Die Aufgabe ist nur da um mich fertig zu machen.
Hallo,
so wie du die ganze Zeit großzügig vergisst, das "dx" und jetzt das "du" mitzuschreiben, kommst du nur schwer zur Notwendigkeit, die Substitution des x-Terms durch einen u-Term mit einer entsprechenden Substitution des "dx" zu verbinden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Dann ist das x immernoch da!
Bitte nicht persönlich nehmen, aber ich glaube, ich muss aufgeben, vllt. kommt so eine Aufgabe in der Klausur nicht vor.
Auch wenn ich das ungern so in den Raum stehen lasse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Als ich miente, dass ich die Aufgabe nicht verstehe, meinte ich das ernst, ich würde dem jenigen 1.000 mal danken (hypothetisch), wenn er mir den Lösungsweg zeigt.
Ich lerne zig mal schneller, wenn man ich einen ausführlichen Lösungsweg habe.
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Hallo,
> Als ich miente, dass ich die Aufgabe nicht verstehe, meinte
> ich das ernst, ich würde dem jenigen 1.000 mal danken
> (hypothetisch), wenn er mir den Lösungsweg zeigt.
>
> Ich lerne zig mal schneller, wenn man ich einen
> ausführlichen Lösungsweg habe.
Naja, wenn du deine Rechnung nicht zeigst, können wir deinen Gedankenfehler auch nicht finden.
Ausnahmsweise hier die Rechnung - ich schreibe das alles ohne Grenzen auf.
Die kannst du entweder mit substituieren oder du machst für die Stammfunktion eine Rücksubstitution und nimmst die alten Grenzen her:
Zu bestimmen ist [mm]\int{\frac{4x\tan^5\left(\frac{x^2}{3}\right)}{\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right) \ dx}[/mm]
Mathepower hat dir die Substitution verraten:
[mm]u=u(x):=\tan\left(\frac{x^2}{3}\right)[/mm]
Damit [mm]\red{u^5=\tan^5\left(\frac{x^2}{3}\right)}[/mm]
Weiter [mm]u'(x)=\frac{du}{dx}=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right)}\cdot{}\frac{2}{3}x[/mm] nach Kettenregel (--> nachrechnen!)
Also [mm]\blue{dx=\frac{3\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right)}{2x} \ du}[/mm]
Das ersetzen wir alles im Ausgangsintegral:
[mm]\int{\frac{4x\cdot{}\red{\tan^5\left(\frac{x^2}{3}\right)}}{\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right)} \ \blue{dx}} \ \ \ = \ \ \ \int{\frac{4x\cdot{}\red{u^5}}{\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right)} \ \blue{\frac{3\cos^2\left(\frac{x^2}{3}\right)}{2x} \ du}}[/mm]
Fleißig kürzen:
[mm] $=6\cdot{}\int{u^5 \ du}$
[/mm]
Und das ist doch nun nicht mehr schwer ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Sa 05.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Dann ist ja das vorgerechnete Ergebnis, von meinem Lösungsblatt falsch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Dann ist ja das vorgerechnete Ergebnis, von meinem
> Lösungsblatt falsch!
Wieso? Das vorgerechnete Ergebnis führt doch genau zum Ergebnis deines Lösungsblattes.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Aus:
[mm] 6\cdot{}\int{u^5 \ du} [/mm] und [mm] u^5=\tan^5\left(\frac{x^2}{3}\right) [/mm]
kommt:
[mm] 6*\integral_{}^{}{\tan^5\left(\frac{x^2}{3}\right)}\not=\integral_{}^{}\operatorname{tan}^6\bruch{x^2}{3}
[/mm]
Wo denk ich nun wieder falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:52 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ich weiß, dass ich voll überhaupt kein Mathematiker bin, und ihr wahrscheinlich frustriert feststellt, "wat will der denn, das ist doch so einfach", aber das ist es eben für einen wie mich nicht, ich habe erheblich Schwierigkeiten in diesem Fach. Das meiste kann ich nur aus stupiden Auswendig lernen beantworten, Logik gibt es bei mir nicht.
Aber ich hab halt gelernt, wenn man hartnäckig genug dran bleibt, dann wird es schon einen geben, der dir das erklären möchte.
Und dann kann ich auch das auswendig lernen.
Also bitte, rechne das einer zu Ende, ich werde bei dieser Aufgabe noch total verrückt, es lässt mich einfach nicht in Ruhe, bevor ich den kompletten Lösungsweg weiß.
Und warum konnte, der der den Lösungsweg mal so schnell machte, einfach so sagen, dass das so ist. Geht das? Wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 So 06.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo gotoxy86!
Aus [mm]6\cdot{}\int{u^5 \ du}[/mm] wird durch Integrieren zunächst [mm]6*\bruch{u^6}{6} \ = \ u^6[/mm] .
Und nun [mm]u \ = \ \tan\left(\frac{x^2}{3}\right)[/mm] resubstituieren.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Danke, ich habe bei der Aufgabe, voll den Faden verloren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Mein Taschenrechner macht micht, was er soll.
Es ist doch:
[mm] tan^6(\pi/3) [/mm]
Nicht möglich mit meinem Taschenrechner
= [mm] 6tan(\pi/3)
[/mm]
[mm] 6\wurzel [/mm] 3
[mm] \not= tan(\pi/3)^6
[/mm]
27
Welches ist jetzt wirklich richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Mein Taschenrechner macht micht, was er soll.
Es ist doch:
[mm] tan^6(\pi/3) [/mm]
Nicht möglich mit meinem Taschenrechner
= [mm] 6tan(\pi/3)
[/mm]
[mm] 6\wurzel3 [/mm]
[mm] \not= tan(\pi/3)^6
[/mm]
27
Welches ist jetzt wirklich richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese Tabelle an, dann siehst du, dass
[mm] \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}
[/mm]
Und damit kannst du die Aufgabe in Kopf lösen, denn:
[mm] \tan^{6}\left(\frac{\pi}{3}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^{6}
[/mm]
[mm] =\left(\sqrt{3}\right)^{6}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Ich fürchte, du hast beim TR einige Klammern vergessen und evtl sogar im Gradmass gerechnet.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Also kann ich nicht sagen: 6tan = [mm] tan^6
[/mm]
Kleine weitere Frage:
[mm]\bruch{\wurzel[4]{n^3}}{n^2}=n^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also kann ich nicht sagen: 6tan = [mm]tan^6[/mm]
Wie kommst du darauf, dass das gilt?
>
> Kleine weitere Frage:
> [mm]\bruch{\wurzel[4]{n^3}}{n^2}=n^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
> Richtig?
Nein, wie kommst du darauf?
Es gilt:
[mm]\bruch{\wurzel[4]{n^3}}{n^2}=\frac{n^{\frac{3}{4}}}{n^{2}}=n^{\frac{3}{4}-2}}=\ldots\ne n^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
Hast du etwa im Exponenten die 2 und die 4 gekürzt?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 06.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
DA wurde mir mal so gezeigt, is aber wohl falsch.
dann ist es hoch-5/4.
Ich hab es bei der Wurzel vertauscht.
Und das ist dann [mm] 1/n^{5/4}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 So 06.02.2011 | | Autor: | M.Rex |
> DA wurde mir mal so gezeigt, is aber wohl falsch.
Wahrscheinlich ja.
>
> dann ist es hoch-5/4.
Korrekt, [mm] n^{-\frac{5}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{n^{5}}}
[/mm]
>
> Ich hab es bei der Klammer vertauscht.
Wie auch immer, du hast es jetzt ja korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | [mm] \integral{\bruch{(6x+1)\cos\wurzel{3x^2+x}\sin\wurzel{3x^2+x}}{\wurzel{3x^2+x}}dx}
[/mm]
[mm] \wurzel{3x^2+x}=t [/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{6x+1}{2\wurzel{3x^2+x}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{2\wurzel{3x^2+x}}{6x+1}dt
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{(6x+1)\cos\wurzel{3x^2+x}\sin\wurzel{3x^2+x}}{\wurzel{3x^2+x}}\bruch{2\wurzel{3x^2+x}}{6x+1}dt} [/mm] |
Substitution, ist diese Richtig?:
f=cos t f'=-sin t g'=sin t g=-cos t
[mm] \integral{sin(t)cos(t)}=\bruch{-cos^2 t}{3}
[/mm]
In der lösung steht [mm] \bruch{sin^2t}{3}, [/mm] wie komme ich dahin?
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Hallo gotoxy89,
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> [mm]\integral{\bruch{(6x+1)\cos\wurzel{3x^2+x}\sin\wurzel{3x^2+x}}{\wurzel{3x^2+x}}dx}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3x^2+x}=t[/mm]
>
> [mm]\bruch{dt}{dx}=\bruch{6x+1}{2\wurzel{3x^2+x}}[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{2\wurzel{3x^2+x}}{6x+1}dt[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{(6x+1)\cos\wurzel{3x^2+x}\sin\wurzel{3x^2+x}}{\wurzel{3x^2+x}}\bruch{2\wurzel{3x^2+x}}{6x+1}dt}[/mm]
>
> Substitution, ist diese Richtig?:
>
> f=cos t f'=-sin t g'=sin t g=-cos t
>
> [mm]\integral{sin(t)cos(t)}=\bruch{-cos^2 t}{3}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\integral{sin(t)cos(t)}=\bruch{-cos^2 t}{\blue{2}}[/mm]
>
> In der lösung steht [mm]\bruch{sin^2t}{3},[/mm] wie komme ich
> dahin?
Wende den trigonometrischen Pythagoras an:
[mm]\sin^{2}\left(t\right)+\cos^{2}\left(t\right)=1[/mm]
Daraus ergibt sich: [mm]\cos^{2}\left(t\right)= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mo 07.02.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] 2\integral{sin(t)cos(t)}=-cos^2 t+\integral{sin(t)cos(t)}
[/mm]
daraus ergibt sich doch dann [mm] 3\integral{sin(t)cos(t)} [/mm] und das führt dann zu [mm] \bruch{-cos^2 t}{3}
[/mm]
Oder nicht?
[mm] \sin^{2}\left(t\right)+\cos^{2}\left(t\right)=1
[/mm]
[mm] \cos^{2}\left(t\right)=1-\sin^{2}\left(t\right)
[/mm]
Ich versteh nicht, wie mir das weiterhelfen kann?
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