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Integralrechnung: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:29 Fr 15.07.2005
Autor: Ramanujan

Hallo!
Ich hab eine eigentlich banale Frage, aber da ich nicht drauf komme, frage ich euch bitte um Rat:

Wie groß ist das Integral [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{cosh(x)}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm]

Ich würd mich über eine halbwegs ausführliche Rechnung freuen.

MfG

Ramanujan

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integralrechnung: Tipps, keine Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Sa 16.07.2005
Autor: matrinx

Hallo!
eine vollständige Lösung kann ich Dir leider nicht bieten, aber vielleicht helfen Dir folgende Überlegungen weiter:
[mm]cosh(x)[/mm] und  [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] sind grade Funktionen, also auch [mm] \bruch{cosh(x)}{\wurzel{1-x^2}}. [/mm] Damit ist Dein Integral  [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx}=2* \integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm]
Dann kannst Du noch [mm]cosh(x)[/mm] ersetzen durch [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}. [/mm] Die Vorfaktoren [mm]2[/mm] und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hauen sich raus, das Integral kannst Du aufteilen (Summe). Vielleicht wirds dadurch einfacher (z.B. partielle Integration).
Grüsse
Martin
  
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Integralrechnung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 01:33 So 17.07.2005
Autor: chrisdus

Also das Integral  [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {cosh /  [mm] \wurzel{x^2 - 1} [/mm] dx}

Du setzt x = cosht

Dann substituierst Du das und erhälst x' = sinht

sinht = dx/dt

dx = sinht dt

Und erhälst:  [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] { cosht /  [mm] \wurzel{cosh^2 t - 1} [/mm] dx }

Aus Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen ergibt sich:

cotht = cosht /  $ [mm] \wurzel{ cosht^2 t - 1} [/mm] $

[mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {cotht *sinht dt}

Den cotht kann man ja auch schreiben als cosht / sinht

also fällt sinht weg und man erhält das Integral über [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {cosht dt}

Und das ist gleich sinht.


Wenn du die Grenzen  mitsubstituiert hast entfällt das zurücksubstituieren ansonsten musst Du noch zurücksubstituieren und die Grenzen einsetzen.

Ich hoffe ich konnte Dir behilflich sein. Allerdings keine Garantie!!!!!!!!!
Bezug
                
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Integralrechnung: Verschiedene Variablen!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:17 So 17.07.2005
Autor: Loddar

Hallo chrisdus!


Bei diesem Lösungsweg habe ich nicht nur Bedenken, er ist falsch!


Dein genanntes Ergebnis kannst Du ja ganz leicht überprüfen, indem Du Deine vermeintliche Stammfunktion wieder ableitest.
Dann sollte ja wohl die Ausgangsfunktion wieder herauskommen, was augenscheinlich nicht so ist:

[mm] $\left[ \ \sinh(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \cosh(x) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \bruch{\cosh(x)}{\wurzel{x^2-1}}$ [/mm]


> Du setzt x = cosht
>  
> Dann substituierst Du das und erhälst x' = sinht
> sinht = dx/dt
> dx = sinht dt

[ok]

  
> Und erhälst:  [mm]\integral_{-1}^{1}{ cosht / \wurzel{cosh^2 t - 1}dx }[/mm]

[notok] Hier muß es heißen:

[mm] $\integral{\bruch{\cosh(\red{x})}{\wurzel{\cosh^2(\blue{t}) - 1}} \ \green{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{\cosh(\red{x})}{\wurzel{\cosh^2(\blue{t}) - 1}} \ \sinh(\blue{t}) * \green{dt}}$ [/mm]

Im folgenden Rechengang durchmischst Du dann die beiden unterschiedlichen(!) Integrationsvariablen [mm] $\red{x}$ [/mm] und [mm] $\blue{t}$ [/mm] ...


Gruß
Loddar

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Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 So 17.07.2005
Autor: chrisdus

Ja sorry ist mir auch aufgefallen als ich es nochmal durchgerechnet habe.
Es tut mir leid ich wollte keine falsche Lösung präsentieren.
Irren ist menschlich also Sorry!!!
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Integralrechnung: Vermutung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Di 19.07.2005
Autor: Loddar

Hallo Ramanujan!


Leider konnte Dir keiner hier auch mit diesem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .



Ich vermute mal [meinemeinung], daß dieses unbestimmte Integral divergiert und man das durch eine geeignete Abschätzung belegen soll/kann.

Leider fällt mir hierzu aber nichts näheres/konkreteres ein.


Gruß
Loddar

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