Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Do 01.03.2012 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] |
Hallo,
ich weiß ehrlich gesagt nicht mehr wie ich dies Integrieren soll kann ich das mittels substituion lösen mit [mm] z=x^{2}+1 [/mm] und dann mit [mm] \bruch{dz}{dx}=2x [/mm] dann umstellen nach [mm] \bruch{dz}{2x}=dx [/mm] . Leider hat mich das aber auch nicht weiter gebracht. Hoffe es kann mir nochmal jemand helfen und erklären wie man brüche am besten integriert.
Mfg
|
|
| |
|
Hallo
Also gesucht ist folgendes Integral
[mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{1+x^2}dx
[/mm]
Eine Möglichkeit wäre die Partialbruchzerlegung, dass heißt, du suchst Nullstellen von [mm] x^2+1=0, [/mm] jedoch müsstest du dann im Komplexen arbeiten und ich weiß nicht, ob du Wissen über die komplexen Zahlen und den komplexen Logarithmus verfügst.
Alternativ kannst du eine Stammfunktion auch direkt hinschreiben, wenn du genug Wissen über den Arcustangens verfügst und dann [mm] arctan(x)'=\bruch{1}{1+x^2}, [/mm] also wäre arctan(x)+c(c Konstante) eine mögliche Stammfunktion.
Es gibt noch eine 3. Möglichkeit, jedoch brauchst du da auch Wissen über den arctan.
Man fängt man mit [mm] \bruch{1}{1+x^2}=\bruch{1}{1+(tan(arctan(x))^2}, [/mm] schreibt dies um(also [mm] tan=\bruch{sin}{cos}) [/mm] und letztendlich kommt man darauf, dass dies arctan(x)' ist und wäre auch am Ziel.
Also wie du es machst, bleibt dir überlassen
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
[mm] \integral_{}{}{\frac{1}{x^2+1}dx}=arctan(x)+C [/mm] solltest du eventuell schon mal wo gesehen haben ;)
LG Scherzkrapferl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 01.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo RWBK!
> und erklären wie man brüche am besten integriert.
Gerade bei Brüchen gibt bei der Integration es kein Patentrezept; da gibt es die verschiedensten Varianten.
Grundsätzlich gilt jedeoch, dass man bei Brüchen / gebrochen-rationalen Funktionen zunächst derart umformen sollte, so dass der Zählergrad echt-kleiner ist als der Nennergrad. Hierfür steht z.B. die  Polynomdivision zur Verfügung.
Nun kann eventuell eine Substitution oder eine Partialbruchzerlegung weiter führen - ja nach Bruch.
Diese Antwort mag etwas unbefriedigend erscheinen - ergibt sich jedoch auch aus der alten Weisheit:
"Ableiten ist Handwerk - Integrieren eine Kunst"
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
So würde ich dieses Bsp lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}+1}dx}
[/mm]
Substitution:
x=tan(y) --> y=arctan(x)
[mm] 1+tan(y)^2=sec(y)^2
[/mm]
--> [mm] \frac{dx}{dy}=sec(y)^2
[/mm]
[mm] dx=sec(y)^2 [/mm] dy
woraus folgt:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}+1}dx}=\integral_{}^{}{\bruch{sec(y)^2}{sec(y)^2}dy}=\integral_{}^{}{1dy}=y=arctan(x)+c
[/mm]
LG Scherzkrapferl
ps: [mm] sec(y)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{cos(y)^2}
[/mm]
|
|
|
|
