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| Aufgabe | Von einer Funktion vom Grad 3 mit y-Achsenabschnitt Q=-2 sind die Nullstellen x=1 und x=2 bekannt. Die Funktion schliesst mit der x-Achse im ersten Quadranten(zwischen den beiden Nullstellen) ein Fläche von 5/12 ein.
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Wie finde ich c heraus? d gibt ja -2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 12.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast die Nullstellen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] ja gegeben, und die Kennst den Flächeninhalt A zwischen den Nullstellen.
[mm] f(x)=ax^{3}+bx²+cx+d
[/mm]
[mm] F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx³+\bruch{1}{2}cx+dx
[/mm]
Also
[mm] \green{A}=\integral_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx=F(\green{x_{2}})-F(\green{x_{1}})
[/mm]
Das ist die vierte Gleichung neben
d=-2
[mm] 0=ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d
[/mm]
[mm] 0=ax_{2}^{3}+bx_{2}^{2}+cx_{2}+d
[/mm]
Also hast du folgendes LGS:
[mm] \vmat{d=-2\\0=ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d\\0=ax_{2}^{3}+bx_{2}^{2}+cx_{2}+d\\A=F(x_{2})-F(x_{1})}
[/mm]
Marius
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Ja, verstehe. Aber ich weiss ja nicht was a,b und c ist. Ich kann ja nicht mit 3 Unbekannten integrieren.
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Hallo blackkilla,
> Ja, verstehe. Aber ich weiss ja nicht was a,b und c ist.
> Ich kann ja nicht mit 3 Unbekannten integrieren.
Wieso nicht, du integrierst doch nach der Variable x, die $a,b,c,d$ stehen doch nur für irgendwelche Zahlen.
Außerdem hat Marius dir die Stammfunktion oben schon hingeschrieben, du musst nur noch die Grenzen einsetzen.
Für den Flächeninhalt bekommst du dann natürlich auch eine Abh. in $a,b,...$
Die brauchst du ja auch für die letzte benötigte Gleichung.
Also setze mal die Grenzen ein und fasse zusammen ...
Wie lautet dann die heißersehnte letzte Gleichung konkret?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 12.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Es gibt da eine kleine Änderung. Also es lautet nicht x=3 sondern x=sqrt(3) da dies einfacher sein sollte zum lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 12.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Sorry, dass mit x=sqrt3 gehört nicht hier rein.
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Also ich habe jetzt integriert und folgendermassen gerechnet:
((4a+(8/3)b+c-4) - ((1/4)a+(1/3)b+(1/2)c-2
Und dies gibt schlussendlich:
(15/4)a+(7/3)b+(1/2)c= (29/12)
Wie finde ich nun a,b und c heraus?
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Hallo nochmal,
> Also ich habe jetzt integriert und folgendermassen
> gerechnet:
>
> ((4a+(8/3)b+c-4) - ((1/4)a+(1/3)b+(1/2)c-2
Das stimmt fast, aber Marius hatte oben bei der Stammfunktion einen kleinen Tippfehler, es muss lauten:
[mm] $F(x)=\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}bx^3+\frac{1}{2}cx^{\red{2}}+dx$
[/mm]
Damit ändert sich in der ersten Klammer der Wert bei $c$, das ist statt $c$ dann $2c$ ... (rechne nochmal nach)
>
> Und dies gibt schlussendlich:
> (15/4)a+(7/3)b+(1/2)c= (29/12)
Das musst du dann auch noch kurz reparieren ...
>
> Wie finde ich nun a,b und c heraus?
Na, du musst die anderen Gleichungen, die Marius dir hingeschrieben hat mal mit konkreten Werten auffüllen.
$d=-2$ kennst du ja schon, das kannst du überall einsetzen.
Wenn du die anderen Gleichungen konkret hinschreibst, hast du 3 Gleichungen in den 3 Unbekannten $a,b,c$
Die gilt es zu lösen mit einem Verfahren deiner Wahl (Additionsverfahren, Substitutionsverfahren, was dir besser liegt oder was du kennst)
LG
schachuzipus
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Das heisst ich muss ein Additionsverfahren mit 3 Gleichungen durchführen?
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Hallo nochmal,
> Das heisst ich muss ein Additionsverfahren mit 3
> Gleichungen durchführen?
Du musst nicht, jedes andere Lösungsverfahren tut's auch.
Von mir aus rate die Lösungen 
Alles, was erlaubt ist, kannst du probieren, das Additionsverfahren ist ne saubere Sache ...
Schreibe doch mal zur Kontrolle die 3 Gleichungen hin ...
LG
schachuzipus
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$ [mm] \vmat{d=-2\\0=ax_{1}^{3}+bx_{1}^{2}+cx_{1}+d\\0=ax_{2}^{3}+bx_{2}^{2}+cx_{2}+d\\A=F(x_{2})-F(x_{1})} [/mm] $
Also folgende Gleichungen
0= (1/4)a+(1/3)b+(1/2)c-2
0=(16/4)a+(8/3)b+(4/2)c-4
5/12=(15/4)a+(7/3)b+(3/2)c-2
Stimmen diese 3 Gleichungen? Ich könnte zwar raten, aber meine Lehrerin ist echt streng.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Di 12.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Ups sorry. Bin auch müde. Das war natürlich falsch!^^
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Du meinst, dass es dann folgendes gibt:
0=45a+28b+18c-29
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Hallo nochmal,
> Du meinst, dass es dann folgendes gibt:
>
> 0=45a+28b+18c-29 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau!
Dann leg mal los ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe auf a und b aufgelöst.
a=-1,5-0,5c
b=3,5-1,5c
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Hallo nochmal,
> Also ich habe auf a und b aufgelöst.
>
> a=-1,5-0,5c
> b=3,5-1,5c
Leider wird überhaupt nicht klar, wie du darauf kommst und mit welcher Rechnung, es ist ziemlich aus dem Zusammenhang hingeknallt.
Machen wir's systematisch, wir können ja mal Additions- und Substitutionsverfahren verbinden:
Zuerst benennen wir die Gleichungen:
(1) $a+b+c-2=0$
(2) $8a+4b+2c-2=0$
(3) $45a+28b+18c-29=0$
Nun mache folgendes (Additionsverfahren): Addiere das -8fache von (1) auf (2) und dann addiere das -45fache von (1) auf (3)
Damit verschwindet die Variable a aus den Gleichungen (2) und (3)
Danach kannst du (2) oder (3) nach einer verbleibenden Variablen auflösen und in die andere Gleichung, also (3) oder (2) einsetzen (Substitutionsverfahren)
Damit bekommst du schon deine erste Variable ...
Your turn ..
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Di 12.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Hey vielen vielen Dank. Also versuche es dann morgen nachmittag. Glaube jetzt sollte es klappen.
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Hallo nochmal,
> Hey vielen vielen Dank. Also versuche es dann morgen
> nachmittag. Glaube jetzt sollte es klappen.
Ja, das denke ich auch, nach einer guten ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Schlaf schaffst du das locker ...
Kannst ja mal dein Ergebnis posten, wenn du magst
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mi 13.05.2009 | | Autor: | blackkilla |
Also ich habs.
a=-1
b=2
c=1
d=-2
Dementsprechend lautet die ursprüngliche Funktion:
[mm] y=(-x^3)+(2x^2)+x-2
[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
