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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung Fläche
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Integralrechnung Fläche: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Di 12.05.2009
Autor: blackkilla

Aufgabe
Welche Fläche wird durch die Funktion [mm] y=(x^2)-3, [/mm] deren Normale im Punkt x=3 und der y-Achse begrenzt?

Ich hatte diese Aufgabe im Test und konnte sie nicht lösen.

        
Bezug
Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Di 12.05.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Mach dir mal ne Skizze, dann siehst du, welche Fläche gemeint ist. Und dann integriere entsprechend.

Marius

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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Di 12.05.2009
Autor: blackkilla

Ich muss da es von der Y-Achse und nicht von der X-Achse begrenzt wird, auch die negative Fläche dazuzählen.

Wie lautet der Intervall?

Bezug
                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 12.05.2009
Autor: leduart

Hallo
ohne dass du ne Skizze machst geht nix. dann hast du ein Stueck unter der x Achse von 0 bis?
dazu den Teil drueber, aus was besteht der? Du hast ne geradlinige Flaeche (Trapez, von der du noch was abziehen musst.
Gruss leduart

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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:43 Di 12.05.2009
Autor: blackkilla

Es gibt da eine kleine Änderung.  Also es lautet nicht x=3 sondern x=sqrt(3) da dies einfacher sein sollte zum lösen.

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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Blackkilla,

> Es gibt da eine kleine Änderung.  Also es lautet nicht x=3
> sondern x=sqrt(3) da dies einfacher sein sollte zum lösen.  

Das ändert nicht viel am Prinzip.

Das wichtigste ist die Skizze, mache die mal.

Dann brauchst du die Normale an den Graphen von f im Punkt [mm] $P=(\sqrt{3},0)$. [/mm]

Die Normale in P ist die Senkrechte zur Tangente in P, bestimme also die Normalengleichung.

Dazu weißt du:

1) P liegt auf der Normalen

2) die Steigung der Normalen ist ...

(wie verhalten sich die Steigungen zweier senkrechter Geraden zueinander, wie ist ihr Produkt?)

Dann hast du zum einen die Fläche der Parabel im Bereich 0 bis [mm] \sqrt{3} [/mm] (unterhalb der x-Achse) und einen Teil oberhalb der x-Achse, der von der Normalen herrührt.

Welches Gebilde ist das?

Wie berechnet man die Fläche?

Dann beide Flächenanteile zusammensetzen.

Bei neg. Flächeninhalten nimm den Betrag!

Aber wie meine Vorredner schon sagten: mache eine Skizze und es ist beinehe selbsterklärend

LG

schachuzipus


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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Gibt es ein Programm? Oder kann mir jemand netterweise ma ne Skizze einfügen?

Bezug
                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Gibt es ein Programm? Oder kann mir jemand netterweise ma
> ne Skizze einfügen?

Also bitte, du kannst doch wohl per Hand eine leicht verschobene Normalparabel und eine Gerade zeichnen, oder nicht?

[mm] $f(x)=x^2-3$ [/mm] ist eine um 3 nach unten verschobene NP, die genau in [mm] $x=\sqrt{3}$ [/mm] eine NST hat, daran zeichne (oder denke dir) die Tangente und zeichne die Sekrechte zu dieser Tangente in [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Also als Normalengleichung erhalte ich

y=0

Bezug
                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Also als Normalengleichung erhalte ich
>
> y=0 [notok]

Das stimmt nicht.

Dann wäre die Tangente in [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] eine Parallele zur y-Achse, was sie nicht ist.

Ich hatte dir schon gesagt, wie du die Steigung der Normalen (mittels der Tangentensteigung) im Punkt [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] ausrechnen kannst.

Zeige mal deine Rechnung... wie kommst du auf $y=0$ für die Normale?

Gruß

schachuzipus


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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Also ich leitete die Funktion ab, was 2x gibt. Dies entspricht der Steigung der Tangente also m.

Bei der Normale ist die Steigung ja -1/m

Bezug
                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, so ist es, also berechne [mm] f'(\wurzel{3}), [/mm] Steffi

Bezug
                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Ich sehe momentan nicht, wo ich den Fehler habe.

m=2*sqrt(3)

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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, der Anstieg deiner Funktion an der Stelle [mm] \wurzel{3} [/mm] beträgt [mm] m_f=2\wurzel{3}, [/mm] ist doch korrekt, jetzt gilt [mm] m_f*m_n=-1, [/mm] wobei [mm] m_n [/mm] der Anstieg der Normalen ist, Steffi

Bezug
                                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Hallo, ja das hab ich alles so.

Wenn ich dann auf q auflöse dann gibt es dort 0,5.

Wenn ich für x sqrt(3) einsetze, muss ich ja für y 0 einsetzen?

Bezug
                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, die Normale genügt der Gleichung

[mm] f_n(x)=m_n*x+q [/mm]

q=0,5 hast du richtig gefunden, also hast du sicherlich auch dein [mm] m_n, [/mm] gebe doch mal die vollständige Normalengleichung an, dann überlege dir, welche Flächen zu berechnen sind, die Skizze ist also zwingend notwendig, hast du kein Programm, gehe über die Wertetabelle, setze -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2 ein

Steffi

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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Als Normalengleichung habe ich

y=(-1/m)*x+q

y=(-1/2x)*x+0,5

Egal was ich für x einsetze, gibt es ja schlussendlich y=0

Bezug
                                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, der Anstieg deiner Funktion an der Stelle [mm] \wurzel{3} [/mm] war doch [mm] m_f=2\wurzel{3}, [/mm] weiterhin gilt [mm] m_f*m_n=-1, [/mm] was bedeutet [mm] m_n=-\bruch{1}{2\wurzel{3}} [/mm]

Normale [mm] f_n(x)=-\bruch{1}{2\wurzel{3}}*x+0,5 [/mm]

Steffi

Bezug
                                                                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Ich dachte immer die Gleichung laute:

y=(-1/m)*x+q

Bezug
                                                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, na klar, ader [mm] -\bruch{1}{m} [/mm] ist doch ganz konkret zu berechnen, Steffi

Bezug
                                                                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Ok Vielen Dank.

Ist das richtig, wie ich Flächen berechne?

Also ich nehme die Funktion [mm] ((x^2)-3) [/mm] diese integriere ich von 0 bis sqrt(3).

Dazu addiere ich die Resultat, die erhalte wenn ich die Normalengleichung integriere, diese auch von 0 bis sqrt(3)

Bezug
                                                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, kannst du so machen, setze zur Sicherheit alles in Betragsstriche, Steffi

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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Wenn ich die [mm] (x^2)-3 [/mm] von 0 bis sqrt(3) integriere erhalte ich 3,464

Wenn ich dann die Normalengleichung (-1/2*sqrt(3))+0,5 von 0 bis sqrt(3) integriere erhalte ich 0,366

Wenn man die beiden Ergebnisse zusammenzählt, erhält man ja die Fläche, hier also: 3,8

Stimmt irgendwie nicht oder?

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mi 13.05.2009
Autor: Steffi21

Hallo, rechne aber nicht in Dezimalbrüche um, du hast dann ja nur gerundete Werte, also

[mm] 2\wurzel{3} [/mm] bei deiner Parabel ist korrekt, überprüfe mal bitte deine Rechnung zur Normalen, du kannst dabei auch über ein rechtwinkliges Dreieck gehen,

Steffi

Bezug
                                                                                                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Nicht in Dezimalbrüchen? Meinst ich soll z.b 3,8 aufrunden auf 4?

Sorry, aber kannst du mal aufschreiben, was ich von wo bis wo integrieren muss um die Fläche zu erhalten.

Die Lösung sollte glaube ich 8 ergeben.

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Müsste ich die Lösung, die ich erhalte mit 2 multiplizieren?

Bezug
                                                                                                                                                                                        
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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo nochmal,

> Nicht in Dezimalbrüchen? Meinst ich soll z.b 3,8 aufrunden
> auf 4?
>  
> Sorry, aber kannst du mal aufschreiben, was ich von wo bis
> wo integrieren muss um die Fläche zu erhalten.

Hast du endlich die Skizze gemacht?

Die Fläche besteht aus zwei Teilen, einen Teil (unterhalb der x-Achse) berechnest du als $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}f(x) \ dx}$ - im Betrag, weil's sonst negativ ist.

Der andere Teil wird von der x-Achse und der Normalen eingeschlossen.

Berechne den Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse.

Das Flächengebilde ist ein Dreieck, eine Seite hat die Länge $\sqrt{3}$, klar, das ist die rechte untere Ecke.

Die andere Seitenlänge ergibt sich als Länge vom Ursprung bis zum Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse.

Am Ende beide Flächen addieren und du hast es ...

Aber das hatte ich oben schon geschreiben ....



LG

schachuzipus

>  
> Die Lösung sollte glaube ich 8 ergeben.


Bezug
                                                                                                                                                                                                
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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Also die negative Fläche kapier ich. Und die oberhalb wird ja von der Y-Achse und der Normale eingeschlossen?! Dann muss ich (-1/2sqrt(3))+0,5 auch von 0 bis sqrt(3) integrieren.

Denn da die Fläche von der Y-Achse begrenzt wird und beim Schnittpunkt x ja 0 ist.

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Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

du hast es dir immer noch nicht aufgemalt, oder?

Um die "obere" Fläche, also die, die von der Normalen durch [mm] $\sqrt{3}$, [/mm] der x-Achse und der y-Achse eingeschlossenen Fläche, zu berechnen, brauchst du keine Integralrechnung.

Ich habe die Faxen dicke und stelle dir ne Skizze rein, das muss hier mal zum Ende kommen.

Steffi hat dir etwas höher schon die Normalengleichung hingeschrieben - suche sie ...

Dann solltest du den Schnittpunkt der Normalen mit der y-Achse bestimmen ....

Und ne Dreiecksfläche ist die Hälfte einer Rechtecksfläche

Das kannst du doch mit 2 bekannten Seiten berechnen ...

Hier das Bilchen ... grün: Tangente, blau: Normale

[Dateianhang nicht öffentlich]

LG

schachuzipus

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Sorry. Skizze hab ich schon lange. Aber wir haben immer alles integriert. Und nie so einfach, ne Fläche von nem Dreieck berechnet. Sondern immer den Umweg genommen.

Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Ich vermute genau diese Normalengleichung ist mein Problem.

Wie lautet die korrekt? Denn ich muss ja bei x dann 0 einsetzen und dann krieg ich y, und so auch die 2. seitenlänge.

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

nochmal zusammengefasst:

Die Steigung der Tangente im Punkt [mm] $x_0=\sqrt{3}$ [/mm] ist [mm] $f'(\sqrt{3})=2\sqrt{3}$ [/mm]

Die Normale [mm] $f_n$ [/mm] steht senkrecht darauf, für die Steigung der Normalen [mm] $m_n$ [/mm] gilt also [mm] $2\sqrt{3}\cdot{}m_n=-1$ [/mm] bzw umgestellt nach [mm] $m_n$: [/mm]

[mm] $m_n=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$ [/mm]

Die Normale ist eine Gerade, hat also die Form [mm] $f_n(x)=m_n\cdot{}x+b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+b$ [/mm]

Wir wissen, dass der Punkt [mm] $P=(\red{\sqrt{3}},\blue{0})$ [/mm] auf der Normalen liegt, das eigesetzt:

[mm] $f_n(\red{\sqrt{3}})=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\red{\sqrt{3}}+b=-\frac{1}{2}+b=\blue{0}$ [/mm]

Also [mm] $b=\frac{1}{2}$ [/mm]

Damit lautet die Normalengl.: [mm] $f_n(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}$ [/mm]

Für den Rest siehe die andere Antwort von vor ein paar Minuten

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:24 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo noch einmal,

> Sorry. Skizze hab ich schon lange. Aber wir haben immer
> alles integriert. Und nie so einfach, ne Fläche von nem
> Dreieck berechnet. Sondern immer den Umweg genommen.

Na, ok.

Der SP mit der y-Achse ist ersichtlich [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] - rechne es nach

Ich finde, dass die "obere" Fläche sich als [mm] $\frac{\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ [/mm] doch recht bequem berechnen lässt im Vergleich zu [mm] $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{1}{2}\right) \ dx}$ [/mm]

Das wäre die Fläche als Integral der Normalen von 0 bis [mm] \sqrt{3} [/mm]

Du kannst es ja zur Übung mal berechnen, es sollte unbedingt dasselbe wie mit der geometrischen Berechnung rauskommen ;-)

Wie dem auch sei, du kannst dich für einen Weg entscheiden ..

LG

schachuzipus


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Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:29 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Mal schauen, ich entscheide mich mal für die geometrische. Mal gucken was sie sagt, vielleicht sieht sie ein, dass die einfachere ausreicht.

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Bezug
Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Mal schauen, ich entscheide mich mal für die geometrische. [ok]

Das ist eine gute Entscheidung, es ist nicht nur die einfachere und schnellere Methode, sondern auch die weitaus elegantere ;-)

> Mal gucken was sie sagt, vielleicht sieht sie ein, dass die
> einfachere ausreicht.

Du kannst es ja sicherheitshalber mit dem [mm] $(\star)$ [/mm] markieren und dazuschreiben, dass es auch über das o.e. Integral zu lösen ist und die Rechnung dazuschreiben, so wild ist das auch nicht ..


Also bis dann und viel Erfolg

schachuzipus


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Bezug
Integralrechnung Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Hat sich erledigt. Ich muss nur noch ausrechnen. VIELEN VIELEN Dank, dass du dir soviel Zeit genommen hast, um mir diese einfache Aufgabe zu erklären.

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Bezug
Integralrechnung Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mi 13.05.2009
Autor: blackkilla

Wie lautet die Antwort? Hast du auch 3,89?

Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Integralrechnung Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:47 Mi 13.05.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Wie lautet die Antwort? Hast du auch 3,89?

[applaus]

Ich würde es "ungerundet" schreiben als [mm] $2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Integralrechnung Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:00 Do 14.05.2009
Autor: blackkilla

Ich könnte schwören, ich hätte bei jemandem die Lösung 8 gesehen. Aber wenn du auch dieselbe Resultat erhalten hast, dann bin ich happy!

Gute Nacht und nochmals vielen Dank für deine Hilfe.

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