Integralsatz => Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Fr 07.03.2008 | | Autor: | linder05 |
| Aufgabe | Gelte in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] der Cauchysche Integralsatz. Dann gilt in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] auch die Cauchysche Integralformel; d.h.:
Ist [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] stückweise stetig
differenzierbare geschlossene Kurve, so gilt
[mm] \begin{displaymath}
\forall f \in \mathcal{O(G)}\ \forall z \in \mathcal{G}\setminus
T_{\gamma}:\ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta -
z}d\zeta=w(\gamma,z)f(z)
\end{displaymath} [/mm] |
Vielleicht kann jemand mal meinen Beweis auf Fehler überprüfen? Der soll nämlich in meine Abschlussarbeit... Besten Dank!!
Sei $f [mm] \in \mathcal{O(G)}$ [/mm] und [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve eine geschlossene Kurve in [mm] $\mathcal{G}$. [/mm] Ferner gelte in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] der Cauchysche Integralsatz. Wir definieren bei festem $z [mm] \in \mathcal{G}\setminus T_{\gamma}$ [/mm] die in [mm] $\mathcal{G}\setminus\{z\}$ [/mm] holomorphe und in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] stetige Funktion
[mm] \begin{displaymath}
\varphi_{f;z}: \mathcal{G} \rightarrow \mathbb C,\
\zeta \mapsto \left\{\begin{array}{cl}
\frac{f(\zeta)-f(z))}{\zeta-z}, & \zeta \in \mathcal{G}\setminus\{z\}\\
f'(z), & \zeta=z
\end{array} \right.
\end{displaymath}
[/mm]
Falls [mm] $\varphi_{f;z}\in \mathcal{O(\mathcal{G})}$ [/mm] ist, können wir den Integralsatz auf [mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] anwenden. Problematisch ist, dass [mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] zunächst nur in [mm] $\mathcal{G}\setminus\{z\}$ [/mm] holomorph ist. Nach dem Riemannschen Fortsetzungssatz ist [mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] holomorph in ganz [mm] $\mathcal{G}$, [/mm] wenn [mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] in einer punktierten Umgebung [mm] $\dot{U}:=U(z)\setminus \{z\} \subset \mathcal{G}$ [/mm] von $z$ beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm] $\lim\limits_{\substack{\zeta\rightarrow z\\ \zeta\neq z}}(\zeta-z)\varphi_{f;z}=0$ [/mm] ist. [mm] \\
[/mm]
Es gilt:
[mm] \begin{displaymath}
\lim\limits_{\substack{\zeta\rightarrow z\\ \zeta\neq z}}(\zeta-z)\varphi_{f;z}=\lim\limits_{\substack{\zeta\rightarrow z\\ \zeta\neq z}}(\zeta-z)\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}=\lim\limits_{\substack{\zeta\rightarrow z\\ \zeta\neq z}}(f(\zeta)-f(z))=0
\end{displaymath}
[/mm]
[mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] ist also auf ganz [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] holomorph fortsetzbar, d.h. [mm] $\varphi_{f;z}\in \mathcal{O(\mathcal{G})}$. [/mm] Insgesamt folgt damit nach dem Cauchyschen Integralsatz [mm] $\int_{\gamma}\varphi_{f;z}(\zeta)d\zeta=0$.
[/mm]
Also gilt:
[mm] \begin{displaymath}
0=\int_{\gamma}\varphi_{f;z}(\zeta)d\zeta=\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta-f(z)\int_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}d\zeta
\end{displaymath}
[/mm]
Mit
[mm] \begin{displaymath}
w(\gamma,z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}d\zeta
\end{displaymath}
[/mm]
folgt schließlich
[mm] \begin{displaymath}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\frac{f(z)}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}d\zeta=w(\gamma,z)f(z)
\end{displaymath}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 09.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gelte in [mm]\mathcal{G}[/mm] der Cauchysche Integralsatz. Dann gilt
> in [mm]\mathcal{G}[/mm] auch die Cauchysche Integralformel; d.h.:
> Ist [mm]\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}[/mm]
> stückweise stetig
> differenzierbare geschlossene Kurve, so gilt
> [mm]\begin{displaymath}
\forall f \in \mathcal{O(G)}\ \forall z \in \mathcal{G}\setminus
T_{\gamma}:\ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta -
z}d\zeta=w(\gamma,z)f(z)
\end{displaymath}[/mm]
>
> Vielleicht kann jemand mal meinen Beweis auf Fehler
> überprüfen? Der soll nämlich in meine Abschlussarbeit...
> Besten Dank!!
>
> Sei [mm]f \in \mathcal{O(G)}[/mm] und
> [mm]\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}[/mm] eine
> stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve eine
> geschlossene Kurve in [mm]\mathcal{G}[/mm]. Ferner gelte in
> [mm]\mathcal{G}[/mm] der Cauchysche Integralsatz. Wir definieren bei
> festem [mm]z \in \mathcal{G}\setminus T_{\gamma}[/mm] die in
> [mm]\mathcal{G}\setminus\{z\}[/mm] holomorphe und in [mm]\mathcal{G}[/mm]
> stetige Funktion
> [mm]\begin{displaymath}
\varphi_{f;z}: \mathcal{G} \rightarrow \mathbb C,\
\zeta \mapsto \left\{\begin{array}{cl}
\frac{f(\zeta)-f(z))}{\zeta-z}, & \zeta \in \mathcal{G}\setminus\{z\}\\
f'(z), & \zeta=z
\end{array} \right.
\end{displaymath}[/mm]
>
> Falls [mm]\varphi_{f;z}\in \mathcal{O(\mathcal{G})}[/mm] ist, können
> wir den Integralsatz auf [mm]\varphi_{f;z}[/mm] anwenden.
> Problematisch ist, dass [mm]\varphi_{f;z}[/mm] zunächst nur in
> [mm]\mathcal{G}\setminus\{z\}[/mm] holomorph ist. Nach dem
> Riemannschen Fortsetzungssatz ist [mm]\varphi_{f;z}[/mm] holomorph
Hier sehe ich ein eventuelles Problem: fuer den Riemannschen Fortsetzungssatz (genauer: nach dem Beweis den ich kenne) muss man wissen, dass holomorphe Funktionen eine Potenzreihenentwicklung besitzen in jedem Punkt. Um das zu beweisen, benoetigt man jedoch die Cauchysche Integralformel, zumindest fuer konvexe Gebiete oder zumindest fuer Kreise.
Insofern ist fraglich, ob du ihn hier so anwenden kannst. Davon abgesehen ist alles ok.
Normalerweise umgeht man dieses Problem, indem man den Cauchyschen Integralsatz nicht nur fuer holomorphe Funktionen, sondern fuer Funktionen, die holomorph sind bis auf in endlich vielen Punkten (oder auch nur einem Punkt), wo sie aber stetig ist. Dann kann man den Satz direkt auf die Hilfsfunktion [mm] $\varphi_{f;z}$ [/mm] anwenden, ohne den Riemannschen Hebbarkeitssatz zu bequemen.
LG Felix
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