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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 16.04.2008 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | | Weise Sie den Integralsatz von Stokes auf das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}^{}{xy dx + yz dy +xz dz} [/mm] nach, wobei C die Berandung der Fläche O={(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | z = [mm] x^2-y^2, [/mm] |x| <= 1, |y| <=1} bezeichnet. |
Ich habe möchte eigentlich nur wissen, ob die Parametrisierung stimmt und wenn nicht, wie sie richtig gehört und warum:
für C1:
x = cos (phi) dx = -sin(phi) dphi
y = sin(phi) dy = cos(phi) dphi
z = 1 dz = 0
-pi <= phi <= pi
------------------------
für C2:
x = sin (phi) dx = cos(phi) dphi
y = 1 dy = 0
z = -cos(phi) dz = sin(phi) dphi
0<= phi <= 2 pi
------------------------
für C3:
x= -cos(phi) dx = sin(phi) dphi
y = -sin(phi) dy = -cos(phi) dphi
z = 1 dz = 0
-pi <= phi <= pi
_______________
für C4:
x = -sin(phi) dx = -cos(phi) dphi
y = -1 dy = 0
z = cos(phi) dz = -sin(phi) dphi
-------------------------
rot(V) = rot [mm] \vektor{xy \\ yz \\ xz} [/mm] = [mm] \vektor{((\partial)/(\partial x)) \\ ((\partial)/ \partial y) \\ ((\partial)/(\partial z))}x\vektor{xy \\ yz \\ xz} [/mm] =
[mm] \vektor{-y \\ -z \\ -x}
[/mm]
x = sin (phi)
y = cos (phi)
z = [mm] x^2-y^2
[/mm]
0<=phi <= 2pi
0<= z <= 1
--> [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 2x} [/mm] x [mm] \vektor{0\\ 0\\ -2y} [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0\\ 0}
[/mm]
d. h.: Das Oberflächenintegral wäre 0. Ist dies korrekt bzw. sind die Parametrisierungen korrekt?
Danke für die Hilfe
user0009
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Hallo,
ich denke, die Parametrisierung muss anders gehen.
Die Fläche O ist eine allseits unendlich ausgedehnte Sattelfläche mit dem Sattelpunkt (0/0) .
Nun wird ein endliches Stück "ausgestanzt", dessen Grundriss in der x-y-Ebene ein Quadrat ist. Dann haben wir also einen (mehr oder weniger praktischen...) Reitsattel. Die Kurve C ist die Randkurve dieses Sattels und besteht aus vier Parabelstücken. Eines davon liegt z.B. in der Ebene x=1 und hat demzufolge die Gleichungen x=1 und [mm] z=x^2-y^2=1-y^2 [/mm] bzw. die Parametrisierung x=1, y=t, [mm] z=1-t^2.
[/mm]
Gruss Al-Ch.
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