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| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,\infty) \to [0,\infty) [/mm] eine stetig differenzierbare, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit f(0) = 0. Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion [mm] f^{-1}, [/mm] welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle a,b [mm] \ge [/mm] 0 die Ungleichung
ab [mm] \le \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{b}{f^{-1}(y) dy}
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 36: Falls F Stammfunktion von f, dann ist H(y) := [mm] yf^{-1}(y) [/mm] - [mm] F(f^{-1}(y)) [/mm] Stammfunktion von [mm] f^{-1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
Also ich habe nun zuerst [mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] bestimmt. Es gilt nämlich: [mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm] = F(a) - F(0) = F(a), da F(0) = 0, da laut Vor. f(0) = 0.
Für [mm] \integral_{0}^{b}{f(y) dy} [/mm] gilt:
[mm] \integral_{0}^{b}{f(y) dy} [/mm] = H(b) - H(0) = H(b), da H(0) = 0, weil f(0) = 0 und deshalb auch [mm] f^{-1} [/mm] = 0
Mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung folgt dann:
[mm] \integral_{0}^{b}{f(y) dy} [/mm] = [mm] bf^{-1}(b) [/mm] - [mm] F(f^{-1}(b)) [/mm]
Also kann man die Behauptung auch schreiben als:
ab [mm] \le [/mm] F(a) + [mm] bf^{-1}(b) [/mm] - [mm] F(f^{-1}(b))
[/mm]
Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung, wie ich beweisen kann, dass dies eine wahre Aussage ist. Mein erster Gedanke war, dass ich den ganzen Ausdruck einfach nach a und nach b ableite in der Hoffnung, dass das dann etwas einsichtiger wird. Allerdings wär der Hinweis dann überflüssig, weil ich statt [mm] bf^{-1}(b) [/mm] - [mm] F(f^{-1}(b)) [/mm] auch genauso gut H(b) ableiten könnte.
Wie ihr seht, habe ich keine Ahnung, wie ich hier weiter vorgehen soll, geschweige denn, ob meine Vorgehensweise bisher überhaupt sinnvoll und zielführend ist. Für Hilfen aller Art wäre ich deshalb sehr dankbar!
lg
Anfaenger101
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Hallo Anfaenger101, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das ist keine Anfängerfrage...
> Sei [mm]f:[0,\infty) \to [0,\infty)[/mm] eine stetig
> differenzierbare, streng monoton wachsende und
> unbeschränkte Funktion mit f(0) = 0. Insbesondere
> existiert ihre Umkehrfunktion [mm]f^{-1},[/mm] welche ebenfalls
> stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann
> gilt für alle a,b [mm]\ge[/mm] 0 die Ungleichung
> ab [mm]\le \integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{b}{f^{-1}(y) dy}[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 36: Falls F
> Stammfunktion von f, dann ist H(y) := [mm]yf^{-1}(y)[/mm] -
> [mm]F(f^{-1}(y))[/mm] Stammfunktion von [mm]f^{-1}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute,
>
> Also ich habe nun zuerst [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
> bestimmt. Es gilt nämlich: [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] =
> F(a) - F(0) = F(a), da F(0) = 0, da laut Vor. f(0) = 0.
Diese Folgerung ist falsch. Lass das F(0) da besser stehen, es kürzt sich sowieso gleich wieder heraus...
> Für [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] gilt:
> [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] = H(b) - H(0) = H(b), da H(0) =
> 0, weil f(0) = 0 und deshalb auch [mm]f^{-1}[/mm] = 0
Auch dass H(0)=0 ist, kannst Du nicht folgern.
> Mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung folgt dann:
> [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] = [mm]bf^{-1}(b)[/mm] - [mm]F(f^{-1}(b))[/mm]
> Also kann man die Behauptung auch schreiben als:
> ab [mm]\le[/mm] F(a) + [mm]bf^{-1}(b)[/mm] - [mm]F(f^{-1}(b))[/mm]
Ja, genau. Das kommt auch dann heraus, wenn Du Deine Argumentation zum Wert der Stammfunktionen bei Null zurückziehst, weil nämlich rechts dann nur die Terme [mm] +F(0)-0*f^{-1}(0)-F(0) [/mm] dazukämen und nur eine Null beitrügen.
> Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung, wie ich beweisen
> kann, dass dies eine wahre Aussage ist. Mein erster Gedanke
> war, dass ich den ganzen Ausdruck einfach nach a und nach b
> ableite in der Hoffnung, dass das dann etwas einsichtiger
> wird. Allerdings wär der Hinweis dann überflüssig, weil
> ich statt [mm]bf^{-1}(b)[/mm] - [mm]F(f^{-1}(b))[/mm] auch genauso gut H(b)
> ableiten könnte.
Das Ableiten scheint mir hier auch nicht sinnvoll zu sein.
Mach Dir doch mal eine Skizze, zeichne auf der x-Achse ein a ein und auf der y-Achse ein b und versuche, Flächen zu finden, die die Terme Deiner Ungleichung repräsentieren.
Dann frage Dich, welche Deiner Beobachtungen dazu von der Relation von a und [mm] f^{-1}(b) [/mm] abhängen und welche vom Funktionsverlauf.
Grüße
reverend
PS: Ich lasse die Frage mal halboffen, vielleicht hat jemand eine bessere Idee, was für einen Tipp man geben kann, ohne dabei gleich die Lösung zu verraten...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:[0,\infty) \to [0,\infty)[/mm] eine stetig
> differenzierbare, streng monoton wachsende und
> unbeschränkte Funktion mit f(0) = 0. Insbesondere
> existiert ihre Umkehrfunktion [mm]f^{-1},[/mm] welche ebenfalls
> stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann
> gilt für alle a,b [mm]\ge[/mm] 0 die Ungleichung
> ab [mm]\le \integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{b}{f^{-1}(y) dy}[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 36: Falls F
> Stammfunktion von f, dann ist H(y) := [mm]yf^{-1}(y)[/mm] -
> [mm]F(f^{-1}(y))[/mm] Stammfunktion von [mm]f^{-1}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hi Leute,
>
> Also ich habe nun zuerst [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm]
> bestimmt. Es gilt nämlich: [mm]\integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] =
> F(a) - F(0) = F(a), da F(0) = 0, da laut Vor. f(0) = 0.
> Für [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] gilt:
> [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] = H(b) - H(0) = H(b), da H(0) =
> 0, weil f(0) = 0 und deshalb auch [mm]f^{-1}[/mm] = 0
> Mit dem Hinweis in der Aufgabenstellung folgt dann:
> [mm]\integral_{0}^{b}{f(y) dy}[/mm] = [mm]bf^{-1}(b)[/mm] - [mm]F(f^{-1}(b))[/mm]
> Also kann man die Behauptung auch schreiben als:
> ab [mm]\le[/mm] F(a) + [mm]bf^{-1}(b)[/mm] - [mm]F(f^{-1}(b))[/mm]
trotz Fehler stimmt es, dass die letzte Ungleichung zur Ausgangsungleichung äquivalent ist. Vermutlich hast Du bei Deiner Argumentation "speziellere" Stammfunktionen wählen wollen.
> Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung, wie ich beweisen
> kann, dass dies eine wahre Aussage ist.
Naja, Du bist fast fertig:
[mm] $$\gdw b(a-f^{-1}(b)) \le F(a)-F(f^{-1}(b))\,.$$
[/mm]
Im Falle [mm] $f^{-1}(b)=a$ [/mm] ist alles klar. Jetzt betrachte halt die Fälle
1. Fall: $a > [mm] f^{-1}(b)$:
[/mm]
.
.
.
2. Fall: $a < [mm] f^{-1}(b)$:
[/mm]
Weiterer Tipp: MWS (Mittelwertsatz) und Beachtung von [mm] $f(x)=F'(x)\,.$ [/mm] (Ebenso [mm] $f(f^{-1}(b))=b\,.$)
[/mm]
P.S.:
Beachte auch, dass im Falle $a < [mm] f^{-1}(b) \gdw a-f^{-1}(b) [/mm] < 0$ dann
[mm] $$b(a-f^{-1}(b)) \le F(a)-F(f^{-1}(b))\,.$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] b [mm] \ge \frac{F(a)-F(f^{-1}(b))}{a-f^{-1}(b)}$$
[/mm]
gilt, Du also die letzte Ungleichung zu begründen hast.
Gruß,
Marcel
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