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Hallo,
folgendes bestimmtes Integral soll durch Substitution gelöst werden:
[mm] \integral_{0}^{r}{\br{dx}{\wurzel{r^2-x^2}}}
[/mm]
Im Buch steht nun folgende Substitution:
x=r*sin(u), dx=r*cos(u)*du, [mm] \wurzel{r^2-x^2}=r*cos(u), u=arcsin(\br{x}{r})
[/mm]
Sollen das jetzt 2 Substitutionen sein? Die ersten beiden Gleichungen ist wohl die erste Substitution... Die vierte Gleichung steht wohl für die Substitution der Integrationsgrenzen... Aber was bedeutet die dritte Gleichung?
Wurden da jetzt 2 Substitutionen aufeinmal angewendet?
Ich hätte jetzt erstmal für dx den Term r*cos(u) und für x den Term r*sin(u) eingesetzt...
In der Lösung steht aber dann ganz einfach:
[mm] \integral_{0}^{r}{\br{dx}{\wurzel{r^2-x^2}}=\integral_{0}^{\br{\pi}{2}}{\br{r*cos(u)}{r*cos(u)}}du}
[/mm]
Kann mir jemand helfen?
LG und besten Dank im Voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Do 20.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo,
> folgendes bestimmtes Integral soll durch Substitution
> gelöst werden:
>
> [mm]\integral_{0}^{r}{\br{dx}{\wurzel{r^2-x^2}}}[/mm]
>
> Im Buch steht nun folgende Substitution:
>
> x=r*sin(u), dx=r*cos(u)*du, [mm]\wurzel{r^2-x^2}=r*cos(u), u=arcsin(\br{x}{r})[/mm]
>
> Sollen das jetzt 2 Substitutionen sein?
Nein, es ist nur eine.
> Die ersten beiden Gleichungen ist wohl die erste Substitution...
> Die vierte Gleichung steht wohl für die Substitution der
> Integrationsgrenzen...
Genauer: mit Hilfe der vierten Gleichung können die substituierten Integrationsgrenzen berechnet werden.
> Aber was bedeutet die dritte Gleichung?
Das wirst du gleich sehen.
>
> Wurden da jetzt 2 Substitutionen aufeinmal angewendet?
>
> Ich hätte jetzt erstmal für dx den Term r*cos(u) und für
> x den Term r*sin(u) eingesetzt...
Dann mach' das doch mal. Setze aber korrekterweise für dx den Term dx=r*cos(u)*du ein.
Wenn du dann weiterrechnest und [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] beachtest, siehst du, dass du automatisch auf die dritte Gleichung kommst.
>
> In der Lösung steht aber dann ganz einfach:
>
> [mm]\integral_{0}^{r}{\br{dx}{\wurzel{r^2-x^2}}=\integral_{0}^{\br{\pi}{2}}{\br{r*cos(u)}{r*cos(u)}}du}[/mm]
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> LG und besten Dank im Voraus...
Gruß Sax.
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