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Hallo,
ich bin hier etwas am verzweifeln. Seit Tagen versuche ich krampfhaft diese Funktion zu integrieren: "f(x) = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{(x^{2}+100)^{3}}}".
[/mm]
Die Lösung konnte mir das bekannte Mathetool "MuPad" zwar problemlos bestimmen, nur interessieren mich die Schritte. Vorallem wie es sich der Bruch zusammensetzt. Ich komm nie auf den Teil "100*...".
Hier mal die Lösung: " [mm] \bruch{x}{100* \wurzel{x^{2}+100}}
[/mm]
Danke schonmal im voraus
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Durch Differentiation findet man
[mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{1}{2}} = - x \left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{3}{2}}[/mm]
Das wird im Folgenden verwendet. Zuerst wird additiv zerlegt, dann das hintere Integral partiell integriert:
[mm]\int_{}^{}~\frac{1}{\left( x^2 + 100 \right)^{\frac{3}{2}}}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{100} \int_{}^{}~\frac{x^2 + 100 - x^2}{\left( x^2 + 100 \right)^{\frac{3}{2}}}~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{100} \int_{}^{}~\left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{1}{2}}~\mathrm{d}x \ - \ \frac{1}{100} \int_{}^{}~\left( x \left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{3}{2}} \right) \cdot x~\mathrm{d}x[/mm]
[mm]= \ \frac{1}{100} \int_{}^{}~\left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{1}{2}}~\mathrm{d}x - \frac{1}{100} \left( - \left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{1}{2}} \cdot x + \int_{}^{}~\left( x^2 + 100 \right)^{- \frac{1}{2}}~\mathrm{d}x \right)[/mm]
Und hier heben sich zuletzt die beiden Integrale gegenseitig weg.
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