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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo zusammen!
Derzeit bereiten mir gleich drei Aufgaben Schwierigkeiten. Ich hoffe der ein oder andere kann mir einen kleinen Denkanstoß geben!
1. [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{e^{2x}-1} dx}
[/mm]
Hier habe ich wie folgt substituiert und integriert:
t:=2x [mm] dx=\bruch{dt}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{e^{2x}-1} dx} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {\bruch{1}{e^{t}-1} dt}
[/mm]
[mm] u=e^{t}+1 dt=\bruch{du}{e^{t}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {\bruch{1}{e^{t}-1} dt} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {\bruch{1}{u^2+u} du} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*ln(\bruch{2u+1-\wurzel{1}}{2u+1+\wurzel{1}}) [/mm] + C
was zurücksubstituiert folgenden Therm ergibt:
[mm] \bruch{1}{2}ln(1-\bruch{1}{e^{2x}}) [/mm] + C = [mm] ln(\wurzel{|e^{2x}-1|}) [/mm] + C
Laut Lösung müsste ich jedoch folgenden Therm erhalten:
F(x)= -x + [mm] ln(\wurzel{|e^{2x}-1|})
[/mm]
Ich kann jedoch nicht nachvollziehen, wieso die Lösungen nicht übereinstimmen, bzw. wie das -x dort hingerät.
2. [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{2x}-1}} dx}
[/mm]
Hierbei habe ich mit
[mm] t:=e^{2x} dx=\bruch{dt}{2e^{2x}} [/mm] substuiert:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{2x}-1}} dx} [/mm] =
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{\wurzel{t-1}}*\bruch{dt}{2e^{2x}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {\bruch{dt}{\wurzel{t-1}*e^{x}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{} {\bruch{dt}{\wurzel{t^{2}-t}}} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}*ln(2\wurzel{e^{2x}-1}+2e^{2x}-1) [/mm] + C
Die Lösung stimmt jedoch leider auch nicht mit der richtigen überein:
[mm] F(x)=ln(e^{x}+\wurzel{e^{2x}-1})
[/mm]
3. [mm] \integral_{}^{} {\bruch{x-2}{\wurzel{x^{2}+2x+3}} dx}
[/mm]
Hier habe ich jeweils versucht mit x-2, [mm] x^{2}+2x+3 [/mm] oder [mm] \wurzel{x^{2}+2x+3} [/mm] zu substituieren, doch keine führte zum gewünschten Erfolg.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr einen Blick auf die Rechenwege werfen könntet und mir vorhandene Fehler aufzeigen würdet.
Einen schönen Abend noch!
Gruß, Molch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
Du hast ganz am Ende falsch zusammengefasst bzw. die  Logarithmusgesetze angewandt:
[mm] $\bruch{1}{2}*\ln\left|1-\bruch{1}{e^{2x}}\right|$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left|\bruch{e^{2x}-1}{e^{2x}}\right|$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\ln\left|e^{2x}-1\right|-\ln\left(e^{2x}\right)\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left|e^{2x}-1\right|-\bruch{1}{2}*2x*\ln(e)$
[/mm]
$= \ [mm] \ln\wurzel{\left|e^{2x}-1\right| \ } [/mm] - x$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
> 2. [mm]\integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{2x}-1}} dx}[/mm]
Substituiere $t \ := \ [mm] e^x$ [/mm] und Du erhältst: [mm] $\integral{\bruch{1}{\wurzel{t^2-1}} \ dt}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Molch!
[mm] $\bruch{x-2}{\wurzel{x^2+2x+3}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2*(x-2)}{\wurzel{x^2+2x+3}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2x-4}{\wurzel{x^2+2x+3}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\bruch{2x+2}{\wurzel{x^2+2x+3}}-\bruch{6}{\wurzel{x^2+2x+3}}\right]$
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo Loddar!
Ja, vielen Dank, damit ist mir sehr geholfen. Das Integrieren klappt einwandfrei!
Ich wünsche noch ein schönes Wochenende!
Gruß, Molch
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