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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Di 07.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale:
[mm] \integral_{0}^{1}{arctan(x) dx}
[/mm]
Hinweise: partiell integrieren gefolgt von Substitution
bzw. elementarer Umformung |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die folgenden bestimmten und unbestimmten Integrale:
[mm] \integral_{ }^{ }{x * arctan(x) dx}
[/mm]
Hinweise: partiell integrieren gefolgt von Substitution
bzw. elementarer Umformung |
Hallo zusammen.
Ich komme bei diesen Integralen überhaupt nicht zu Gange.
Da ja als Hinweis steht, das man partiell integrieren soll, hab ich das erste Integral wie folgt umgeschrieben:
[mm] \integral_{0}^{1}{1 * arctan(x) dx}
[/mm]
Dann habe ich arctan als f gewählt, und 1 als g'.
Später habe ich dann t = 1 + x² substituiert.
Als Ergebnis habe ich dann - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + ln(2).
Aber wenn ich das mit der allgemeinen Stammfunktion für arctan aus meiner Formelsammlung vergleiche, stimmt es in keinster Weise überein.
Kann mir jemand helfen, wie ich am betsen an dieses Integral rangehe?
LG, Dino
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[mm]\int_{}^{}~\arctan{x}~\mathrm{d}x \ = \ x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \int_{}^{}~\frac{2x}{1 + x^2}~\mathrm{d}x \ = \ x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \, \ln{\left( 1+ x^2 \right)}[/mm]
Und ähnlich mit dem zweiten Integral. Beachte dort später:
[mm]\frac{x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2 - 1}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Do 16.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Moin!
So, ich habe jetzt beide Integrale nochmal von vorne berechnet.
Kann jemand bitte gucken, ob sie richtig sind?
Vielen Dank.
LG, Nadine
[mm] \integral_{0}^{1}{arctan(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{1 * arctan(x) dx} [/mm] (jetzt partiell integrieren)
= [arctan(x) * x [mm] ]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x²+1} * x dx} [/mm]
= [x * arctan(x) [mm] ]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{x}{x²+1} dx} [/mm] (jetzt substituieren: t = x²+1)
= [x * arctan(x) [mm] ]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2}{ \bruch{x}{t} * \bruch{1}{2} * \bruch{dt}{x} } [/mm]
= [x * arctan(x) [mm] ]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} *\integral_{1}^{2}{ \bruch{1}{t} * dt} [/mm]
= [x * arctan(x) [mm] ]_{0}^{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ln |t| [mm] ]_{1}^{2}
[/mm]
= [1 * arctan(1) - 0 * arctan(0)] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [ln(2) - ln(1)]
= arctan(1) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(2)
[mm] \integral_{}^{}{x * arctan(x) dx} [/mm] (jetzt partiell integrieren)
= [arctan(x) * [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] ] - [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{x²+1} * \bruch{1}{2}x² dx} [/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{x²}{x²+1} dx} [/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ \bruch{x²+1-1}{x²+1} dx} [/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{ (1 - \bruch{1}{x²+1} ) dx} [/mm]
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] { [mm] \integral_{}^{}{ 1 dx} -\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x²+1} dx} [/mm] }
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] { [ x + [mm] c_1 [/mm] ] - [ arctan(x) + [mm] c_2 [/mm] ] }
= [ [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) ] - [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] [ x + [mm] c_1 [/mm] ] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] [ arctan(x) + [mm] c_2 [/mm] ]
= [mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] * arctan(x) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] arctan(x) + c
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Hallo Nadine!
Ich kann keinen Fehler entdecken! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Alles richtig ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Do 16.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Danke fürs Nachrechnen ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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