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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:51 So 04.03.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Oberflächeninhalt, der der durch Rotation der angegebenen Kurve um die x-Achse entsteht:
[mm] y=3*cosh\bruch{x}{3}
[/mm]
[mm] (-3\le [/mm] x [mm] \le3)
[/mm]
[mm] O=2\pi*\integral_{x2}^{x1}{|y|\wurzel{1+(y')^2}dx} [/mm] |
Hallo,
für die Ableitung bekomme ich [mm] y'=3sinh\bruch{x}{3}
[/mm]
das eingesetzt in die obige Formel:
[mm] O=2\pi*\integral_{x2}^{x1}{|3*cosh\bruch{x}{3}|\wurzel{1+(3sinh\bruch{x}{3})^2}dx}
[/mm]
Jetzt hab ich probleme das zu integrieren. Habs mit Substitution versucht. Schaut dann so aus:
[mm] z=3sinh\bruch{x}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=3*cosh\bruch{x}{3}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dz}{3*cosh\bruch{x}{3}}
[/mm]
Das führt dann zu:
[mm] \integral_{x2}^{x1}{\wurzel{1+z^2}dz}
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Es schaut vielversprechend aus bin mir aber nicht sicher ob das überhaupt der richtige Weg ist.
Danke für eure Hilfe!
Grüße Stefan
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> Bestimmen sie den Oberflächeninhalt, der der durch Rotation
> der angegebenen Kurve um die x-Achse entsteht:
>
[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
> [mm]y=3*cosh\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm](-3\le[/mm] x [mm]\le3)[/mm]
>
> [mm]O=2\pi*\integral_{x2}^{x1}{|y|\wurzel{1+(y')^2}dx}[/mm]
> Hallo,
> für die Ableitung bekomme ich [mm]y'=3sinh\bruch{x}{3}[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Hier liegt bereits ein Fehler: Du hast die Kettenregel missachtet, sprich: die innere Ableitung vergessen.}$
[/mm]
[mm] $$y'=3*\bruch{1}{3}*\operatorname{sinh}\left(\bruch{x}{3}\right)$$
[/mm]
> das eingesetzt in die obige Formel:
>
> [mm]O=2\pi*\integral_{x2}^{x1}{|3*cosh\bruch{x}{3}|\wurzel{1+(3sinh\bruch{x}{3})^2}dx}[/mm]
>
[mm] $\bffamily \text{Die Betragstriche kannst du weglassen, da die Funktionswerte der Hyperbelfunktion sowieso immer positiv sind.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Mit der obigen Korrektur sieht das dann so aus:}$
[/mm]
[mm] $$O=2\pi*\int\limits^{3}_{-3}3*\operatorname{cosh}\left(\bruch{x}{3}\right)*\wurzel{1+\operatorname{sinh}^2\left(\bruch{x}{3}\right)}$$
[/mm]
> Jetzt hab ich probleme das zu integrieren. Habs mit
> Substitution versucht. Schaut dann so aus:
> [mm]z=3sinh\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm]\bruch{dz}{dx}=3*cosh\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm]dx=\bruch{dz}{3*cosh\bruch{x}{3}}[/mm]
>
> Das führt dann zu:
> [mm]\integral_{x2}^{x1}{\wurzel{1+z^2}dz}[/mm]
>
> Jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Es schaut
> vielversprechend aus bin mir aber nicht sicher ob das
> überhaupt der richtige Weg ist.
> Danke für eure Hilfe!
>
[mm] $\bffamily \text{Kannst ja noch mal die Substitution versuchen.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Das Ergebnis lautet: }O\approx 25{,}320871\text{.}$
[/mm]
> Grüße Stefan
[mm] $\bffamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 04.03.2007 | | Autor: | polyurie |
Ok, so weit so gut. Das richtige Integral lautet dann:
[mm] O=2\pi\cdot{}\int\limits^{3}_{-3}3\cdot{}\operatorname{cosh}\left(\bruch{x}{3}\right)\cdot{}\wurzel{1+\operatorname{sinh}^2\left(\bruch{x}{3}\right)}
[/mm]
Substitution:
[mm] 1+sinh^2\bruch{x}{3}=z
[/mm]
ergibt:
[mm] \integral_{x2}^{x1}{9*\wurzel{1+z^2}dz}
[/mm]
Jetzt steh ich wieder vor dem gleichen Problem mit der Integration...
Das richtige Ergebnis ist übrigens [mm] O\approx159,1 [/mm] (Stefan hat vergessen mit [mm] 2\pi [/mm] zu multiplizieren)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 So 04.03.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel(1+x^{2})dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}\wurzel(1+x^{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}arsinh(x)
[/mm]
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