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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral{\bruch{x^4}{x+\wurzel{x^2-1}} dx}
[/mm]
auf möglichst viele verschiedene Arten. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das Lösen auf möglichst viele verschiedene Arten spare ich mir mal. Aber möglichst viele verschieden Arten probiert habe ich schon.
Unter anderem partielle Integration bzw. die Substitution von
[mm] x+\wurzel{x^2-1},
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2-1},
[/mm]
[mm] x^2-1
[/mm]
Partialbruchzerlegung geht nicht, da es sich im Nenner um kein Polynom handelt.
Außerdem habe ich noch
$(ln [mm] |x+\wurzel{x^2-1}|)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}$
[/mm]
gefunden, aber so richtig einbauen konnte ich das nicht. Leider hat kein Versuch zu einer Vereinfachung geführt. Möglicherweise war auch schon der richtige Ansatz dabei und ich hatte nicht das richtige Sitzfleisch (eine A4 Seite klein vollzuschreiben kommt immer wieder mal bei einigen Aufgaben, die wir bekommen, vor; der Lerneffekt hält sich bei der stupiden Schreibarbeit leider in Grenzen) oder ich habe mich verrechnet. Ich bin aber sonst immer auf irgendein Ergebnis gekommen. Nur diesmal scheint's nicht zu klappen. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo LupinIII.,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bevor Du hier ans Integrieren denkst, solltest Du den Term erst einmal umformen. Und zwar im Nenner zu einer 3. binomischen Formel erweitern.
Das heißt: erweitere den Bruch mal mit [mm] $\left( \ x \ \red{-} \ \wurzel{x^2+1} \ \right)$ [/mm] ... denn damit vereinfacht sich doch einiges.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 18.04.2007 | | Autor: | LupinIII. |
Schaut tatsächlich viel besser aus so ohne Bruch  Vielen Dank für die schnelle Antwort! Jetzt werde ich's wohl schaffen!
Arghh, Ist schon fies, wenn eine Aufgabe, für die man zuerst keine Substitution braucht, unter 10 anderen, die als ersten Schritt eine benötigen, auftaucht.
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| Aufgabe | | [mm] \integral{x^4\wurzel{x^2-1} dx} [/mm] |
Zu früh gefreut, und das obwohl es nach der Erweiterung durch das wegfallen des Bruchs soviel einfacher ausgesehen hat. In der Angabe oben habe ich auch schon das [mm] x^5 [/mm] und das negative Vorzeichen weggelassen, die sich nach dem Erweitern ergeben.
Mein erster Versuch war partielle Integration (mehrfach). Aber irgendwie bin ich, egal was ich gemacht habe, immer im Kreis gelaufen und es hat sich alles auf $0=0$ zusammen gekürzt. Verschiedene Substitutionen (Versuche wie im ersten Post angegeben) haben nichts gebracht. Ich habe auch versucht mit [mm] \bruch{\wurzel{x^2-1}}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] zu erweitern, sodass ich nachher in zwei Integrale aufspalten kann, aber eigentlich wird es dadurch nicht einfacher. Ich habe mir von Mathematica die Lösung ausrechnen lassen und versucht durch Ableitung davon einen Hinweis auf den "Trick" zu bekommen. Aber außer viel Schreibarbeit hat mir das leider auch nichts gebracht.
Ich glaube, ich weiß wo ich hin muss: irgendwann muss ein Integral der Form [mm] \integral{\bruch{dx}{\wurzel{x^2-1}}} [/mm] herauskommen (ergibt [mm] $ln|x+\wurzel{x^2-1}|$). [/mm] Leider war immer irgendein weiteres x mitdrin. Hat jemand noch einen Tipp?
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Hallo,
ein weiterer Schritt in der Integration wäre die Aufspaltung des [mm] x^{4}, [/mm] z.B.
[mm]\integral x^{4}*\wurzel{x^{2}-1}\, dx = \integral ((x^{4}-2x^{2}+1)+(2x^2-1))*\wurzel{x^{2}-1}\, dx [/mm]
Ein Integral wäre aber wieder problematisch:
[mm] \integral (x^{2}-1)^{2}*\wurzel{x^{2}-1}\, [/mm] dx
Mit Substitution ergäbe sich
[mm]\integral \bruch{1}{2} * t^{2}*\wurzel{\bruch{t}{t-1}}\, dt [/mm]
Erweitern mit [mm]\wurzel{t-1}[/mm] bringt
[mm]\integral \bruch{1}{2} * \bruch{t^{3}}{\wurzel{t^2-t}}\, dt [/mm]
Da weiß ich jetzt nicht weiter. Meine Formelsammlung gibt nur ein [mm]\integral \bruch{t^{2}}{\wurzel{t^2-t}}\, dt [/mm] her.
LG, Martinius
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