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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:26 So 12.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{t}{(1-t)^{2}+t^{2}}+\bruch{1-t}{(1-t)^{2}+t^{2}} dx} [/mm] |
Hi,
ich verzweifel an dem Integral... Maple spuckt mir [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] aus, was auch richtig ist. Da wir in der Klausur aber weder Computer noch Formelsammlung verwenden dürfen, müssen wir das "von Hand" lösen. Kann mir jemand bitte damit helfen??? Danke!
MfG
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:48 So 12.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Irgendwie sieht das ganze Integral komisch aus:
1.) Da kommt gar kein x drin vor.
2.) Wasbedeutet t?
3.) Wie kommt das [mm] \pi [/mm] da plötzlich rein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Moin rabilein!
> 1.) Da kommt gar kein x drin vor.
> 2.) Wasbedeutet t?
Das mit dem $dx_$ wird wohl nur ein Tippfehler sein und $t_$ die Integrationsvariable.
> 3.) Wie kommt das [mm]\pi[/mm] da plötzlich rein?
Das erhalten wir, da die Stammfunktion eine der Winkelfunktionen (bzw. deren Umkehrung) ist.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 So 12.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Ich nehme mal an, dass soll am Ende auch [mm] $\integral{... \ d\red{t}}$ [/mm] heißen.
Fasse beide Brüche zunächst zusammen und klammere anschließend im Nenner [mm] $t^2$ [/mm] aus:
[mm] $\bruch{t}{(1-t)^2+t^2}+\bruch{1-t}{(1-t)^2+t^2}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{t+1-t}{(1-t)^2+t^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-t)^2+t^2}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{t^2*\left(\bruch{1-t}{t}\right)^2+1}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{\left(\bruch{1}{t}-1\right)^2+1}$
[/mm]
Nun geht es weiter mit der Substitution $z \ := \ [mm] \bruch{1}{t}-1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 So 12.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Super, danke!!! Ich werde deinen Vorschlag gleich mal ausprobieren. dx ist ein Tippfehler - sorry.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 12.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Stefan!
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> Ich nehme mal an, dass soll am Ende auch [mm]\integral{... \ d\red{t}}[/mm]
> heißen.
>
> Fasse beide Brüche zunächst zusammen und klammere
> anschließend im Nenner [mm]t^2[/mm] aus:
>
> [mm]\bruch{t}{(1-t)^2+t^2}+\bruch{1-t}{(1-t)^2+t^2}[/mm]
>
> [mm]= \ \bruch{t+1-t}{(1-t)^2+t^2} \ = \ \bruch{1}{(1-t)^2+t^2}[/mm]
>
> [mm]= \ \bruch{1}{t^2*\left(\bruch{1-t}{t}\right)^2+1}[/mm]
>
> [mm]= \ \bruch{1}{t^2}*\bruch{1}{\left(\bruch{1}{t}-1\right)^2+1}[/mm]
>
> Nun geht es weiter mit der Substitution [mm]z \ := \ \bruch{1}{t}-1[/mm]
Aber so recht versteh' ich nicht, weshalb Du hier eine so relativ exotische Substitution vorschlägst (die auch noch den Nachteil hat, dass sie an der unteren Grenze des gesuchten bestimmten Integrals, $t=0$, nicht definiert ist), wenn es doch eine (durch quadratisches Ergänzen nahegelegte) lineare Substitution $z := [mm] t-\frac{1}{2}$ [/mm] auch tut:
[mm]\begin{array}{lcll}
\displaystyle \int_0^1\frac{1}{(1-t)^2+t^2}\; dt &=& \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{2t^2-2t+1}\; dt\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^1 \frac{1}{t^2-t+\frac{1}{2}}\; dt\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_0^1 \frac{1}{\big(t-\frac{1}{2}\big)^2+\frac{1}{4}}\; dt\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{z^2+\frac{1}{4}}\; dt & \text{Substitution: } z := t-\frac{1}{2}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \Big[2\cdot \arctan(2z)\Big]_{z=-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\
&=& \arctan(1)-\arctan(-1)\\
&=& \frac{\pi}{2}
\end{array}[/mm]
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