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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 12.12.2007 | | Autor: | DaPhil |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x \le y < x+1 \\ -1, & \mbox{für } 0 \le x,x+1 \le y < x+2 \\ 0,& \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{\IR}{(\integral_{\IR} {f(x,y) dx})}dy [/mm] |
Hallo,
also ich muss ohne die Integrationsreihenfolge zu vertauschen das Integral berechnen, um zu zeigen, dass bei Vertauschung nicht dasselbe herauskommt. Vertauscht man kommt 0 raus, das habe ich schon. Aber wenn ich wie oben angegeben zuerst über x integrieren soll, komme ich nicht weiter. Welche Grenzen muss ich da für x einsetzen? Wenn mir das jemand erklären könnte, vor allem warum es die Grenzen sind...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 12.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x \le y < x+1 \\ -1, & \mbox{für } 0 \le x,x+1 \le y < x+2 \\ 0,& \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
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> Berechne [mm]\integral_{\IR}{(\integral_{\IR} {f(x,y) dx})}dy[/mm]
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> Hallo,
> also ich muss ohne die Integrationsreihenfolge zu
> vertauschen das Integral berechnen, um zu zeigen, dass bei
> Vertauschung nicht dasselbe herauskommt. Vertauscht man
> kommt 0 raus, das habe ich schon. Aber wenn ich wie oben
> angegeben zuerst über x integrieren soll, komme ich nicht
> weiter. Welche Grenzen muss ich da für x einsetzen? Wenn
> mir das jemand erklären könnte, vor allem warum es die
> Grenzen sind...
Für das innere Integral hälst du y fest und lässt x über ganz [mm]\IR[/mm] laufen. Du musst dann die verschiedenen Bereiche unterscheiden, in denen f verschiedene Werte annimmt. Am besten, du malst dir ein Koordinatensystem für x und y auf, mit den Geraden y=x, y=x+1 und y=x+2.
Die Funktion ist 0 in der linken Halbebene ([mm]x<0[/mm]). Die Funktion ist 1 in der rechten Halbebene, zwischen den Geraden y=x und y=x+1. Sie ist -1 in der rechten Halbebene zwischen den Geraden y=x+1 und y=x+2. Oberhalb von y=x+2 und unterhalöb von y=x ist sie wieder 0.
Wenn du nun y festhälst, entspricht das einer waagrechten Geraden in deinem Diagramm. Für [mm]y<0[/mm] ist die Funktion immer 0, also auch dein inneres Integral. Für y>0 musst du anschauen, welche Werte die Funktion annimmt.
Am Besten ist es, wenn du die Fälle [mm]y<1[/mm], [mm]12[/mm] getrennt behandelst.
Ich zeige es am Beispiel y=3/2: Für [mm]0\le x \le 1/2[/mm] ist die Funktion -1, für [mm]1/2< x\le3/2[/mm] ist die Funktion +1. Also ist dein inneres Integral
[mm] \integral_0^{1/2} (-1) dx + \integral_{1/2}^{3/2} (+1) dx [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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