Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 15.04.2008 | | Autor: | Xamy |
| Aufgabe | | Berechnen sie die Integrale. |
[mm] \integral_{} \bruch{4e^{x}+3}{1+e^{-2x}}dx
[/mm]
hier hab ich jetzt [mm] e^{x}=t [/mm] gesetzt
[mm] \bruch{dt}{dx}=e^{x}=t
[/mm]
[mm] \integral_{} \bruch{4t+3}{1+e^{-2x}}*\bruch{dt}{t}
[/mm]
so und ab da komme ich nicht mehr weiter. wäre super, wenn mir jemand helfen könnte :)
lg
xamy
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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Wenn [mm] e^x [/mm] = t ist, dann ist [mm] e^{-2x} = t^{-2} = \bruch{1}{ t^2} [/mm] !
Gruss Al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | Xamy |
stimmt ja
also dann weiter
[mm] \bruch{{}t^{2}*(4t+3)}{2}*\bruch{dt}{t}
[/mm]
dann kann man das t kürzen
[mm] \bruch{4*t^{2}+3t}{2}
[/mm]
dann [mm] \integral_{}^{}{2*t^{2}} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{2}*t}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}*t^{3}+\bruch{3}{4}*t^{2}
[/mm]
oder?
aber wie nun weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Deine Rechnung ist fehlerhaft
> stimmt ja
>
> also dann weiter
>
> [mm]\bruch{{}t^{2}*(4t+3)}{2}*\bruch{dt}{t}[/mm]
Richtig wäre:
[mm] $\integral_{} \bruch{4t+3}{1+e^{-2x}}\cdot{}\bruch{dt}{t}=\integral\frac{4t+3}{1+\frac{1}{t^2}}*\frac{dt}{t}=\integral \frac{4t+3}{t^2+1}*\frac{t^2}{t}dt=\integral t*\frac{4t+3}{t^2+1}dt$
[/mm]
> dann kann man das t kürzen
>
> [mm]\bruch{4*t^{2}+3t}{2}[/mm]
>
> dann [mm]\integral_{}^{}{2*t^{2}}[/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3}{2}*t}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{3}*t^{3}+\bruch{3}{4}*t^{2}[/mm]
>
> oder?
>
> aber wie nun weiter?
Hier müßtest Du nur noch [mm] $t=e^x$ [/mm] zurücksubstituieren, um eine Funktion in der Variablen $x$ zu erkennen. Leider ist Deine obige Rechnung schon fehlerhaft.
Oben solltest Du nun:
[mm] $\int \frac{4t^2}{t^2+1}+\frac{3t}{t^2+1}dt=\int \frac{4t^2}{t^2+1}dt+\int \frac{3t}{t^2+1}dt=4\int \frac{t^2}{t^2+1}dt+\int \frac{3t}{t^2+1}dt$
[/mm]
schreiben. Bei dem letzten Integral bietet sich die Substitution [mm] $y=t^2+1$ [/mm] an.
Um [mm] $\int \frac{t^2}{t^2+1}dt$ [/mm] zu berechnen:
[mm] $\int \frac{t^2}{t^2+1}dt=\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt=\int 1dt-\int \frac{1}{t^2+1}dt$
[/mm]
Und jetzt mal über den $arctan(.)$ meditieren...
Und am Ende alles zurücksubstituieren, so dass nur noch die Variable $x$ erscheint, denn Du willst ja eine Funktion in der Variablen $x$ haben!
P.S.:
Zur Kontrolle:
Ich habe
$x [mm] \mapsto 4*(\exp(x)-\arctan(\exp(x)))+\frac{3}{2}*\ln((\exp(x))^2+1)$
[/mm]
als mögliche Stammfunktion, wobei man diese wegen [mm] $\exp(x)^2=\exp(x)*\exp(x)=e^x*e^x=e^{2x}=\exp(2x)$ [/mm] auch zu
$x [mm] \mapsto 4*(\exp(x)-\arctan(\exp(x)))+\frac{3}{2}*\ln(\exp(2x)+1)$
[/mm]
umschreiben kann...
(und da diese Stammfunktion bis auf eine additive Konstante (im Sinne von konstanter Funktion) eindeutig ist, schenke ich den Konstanten keine Beachtung).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 15.04.2008 | | Autor: | Xamy |
Hallo,
Deine Rechnung ist fehlerhaft
> stimmt ja
>
> also dann weiter
>
> $ [mm] \bruch{{}t^{2}\cdot{}(4t+3)}{2}\cdot{}\bruch{dt}{t} [/mm] $
Richtig wäre:
$ [mm] \integral_{} \bruch{4t+3}{1+e^{-2x}}\cdot{}\bruch{dt}{t}=\integral\frac{4t+3}{1+\frac{1}{t^2}}\cdot{}\frac{dt}{t}=\integral \frac{4t+3}{t^2+1}\cdot{}\frac{t^2}{t}dt=\integral t\cdot{}\frac{4t+3}{t^2+1}dt [/mm] $
> dann kann man das t kürzen
>
> $ [mm] \bruch{4\cdot{}t^{2}+3t}{2} [/mm] $
>
> dann $ [mm] \integral_{}^{}{2\cdot{}t^{2}} [/mm] $ +
> $ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3}{2}\cdot{}t} [/mm] $
>
> = $ [mm] \bruch{2}{3}\cdot{}t^{3}+\bruch{3}{4}\cdot{}t^{2} [/mm] $
>
> oder?
>
> aber wie nun weiter?
Hier müßtest Du nur noch $ [mm] t=e^x [/mm] $ zurücksubstituieren, um eine Funktion in der Variablen x zu erkennen. Leider ist Deine obige Rechnung schon fehlerhaft.
Oben solltest Du nun:
$ [mm] \int \frac{4t^2}{t^2+1}+\frac{3t}{t^2+1}dt=\int \frac{4t^2}{t^2+1}dt+\int \frac{3t}{t^2+1}dt=4\int \frac{t^2}{t^2+1}dt+\int \frac{3t}{t^2+1}dt [/mm] $
schreiben. Bei dem letzten Integral bietet sich die Substitution $ [mm] y=t^2+1 [/mm] $ an.
an diesem punkt bleibe ich schon stecken! also wenn [mm] t^{2}+1=y
[/mm]
dann [mm] \integral_{}^{}{\bruch{3*\wurzel{y}}{y+1}}
[/mm]
jetzt weiß ich aber nicht, wie ich dass auflösen soll!
Um $ [mm] \int \frac{t^2}{t^2+1}dt [/mm] $ zu berechnen:
$ [mm] \int \frac{t^2}{t^2+1}dt=\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt=\int 1dt-\int \frac{1}{t^2+1}dt [/mm] $
hier ist das problem, dass ich den letzen schritt nicht verstehe. wo ist zum beispiel die [mm] 4t^{2} [/mm] geblieben?
hier würde ich dann also folgendes machen:
=x-arctan(t)+C
dann [mm] t=e^{x}
[/mm]
also [mm] x-arctan(e^{x})+C [/mm]
Und jetzt mal über den arctan(.) meditieren...
Und am Ende alles zurücksubstituieren, so dass nur noch die Variable x erscheint, denn Du willst ja eine Funktion in der Variablen x haben!
P.S.:
Zur Kontrolle:
Ich habe
$ x [mm] \mapsto 4\cdot{}(\exp(x)-\arctan(\exp(x)))+\frac{3}{2}\cdot{}\ln((\exp(x))^2+1) [/mm] $
als mögliche Stammfunktion, wobei man diese wegen $ [mm] \exp(x)^2=\exp(x)\cdot{}\exp(x)=e^x\cdot{}e^x=e^{2x}=\exp(2x) [/mm] $ auch zu
$ x [mm] \mapsto 4\cdot{}(\exp(x)-\arctan(\exp(x)))+\frac{3}{2}\cdot{}\ln(\exp(2x)+1) [/mm] $
umschreiben kann...
(und da diese Stammfunktion bis auf eine additive Konstante (im Sinne von konstanter Funktion) eindeutig ist, schenke ich den Konstanten keine Beachtung).
Gruß,
Marcel
lg
xamy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Di 15.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oben solltest Du nun:
>
> [mm]\int \frac{4t^2}{t^2+1}+\frac{3t}{t^2+1}dt=\int \frac{4t^2}{t^2+1}dt+\int \frac{3t}{t^2+1}dt=4*\underbrace{\int \frac{t^2}{t^2+1}dt}_{=:I_1}+\underbrace{\int \frac{3t}{t^2+1}dt}_{=:I_2}[/mm] [mm] $(\*)$
[/mm]
>
> schreiben. Bei dem letzten Integral bietet sich die
> Substitution [mm]y=t^2+1[/mm] an.
>
>
> an diesem punkt bleibe ich schon stecken! also wenn
> [mm]t^{2}+1=y[/mm]
> dann [mm]\integral_{}^{}{\bruch{3*\wurzel{y}}{y+1}}[/mm]
> jetzt weiß ich aber nicht, wie ich dass auflösen soll!
Nur mal zu der Logik:
Ich habe in dem Beitrag oben, weil nur noch die einzelnen Integrale nun interessieren (und wir sie später wieder in diese Gleichung oben einsetzen können), einzeln berechnet. Das eine habe ich hier nun [mm] $I_1$, [/mm] das andere [mm] $I_2$ [/mm] getauft.
Zu [mm] $I_2$:
[/mm]
Wenn Du [mm] $\int \frac{3t}{t^2+1}dt$ [/mm] berechnen sollst und substituierst [mm] $y=t^2+1$, [/mm] so ist doch [mm] $dt=\frac{dy}{2t}$:
[/mm]
Damit
[mm] $I_2=\int \frac{3}{2} *\frac{2tdt}{t^2+1}=\int \frac{3}{2}*\frac{1}{y}dy=\frac{3}{2} \int \frac{1}{y}dy=\frac{3}{2}\ln(|y|)=\frac{3}{2}\ln(y)$
[/mm]
(Den Betrag am Ende darf ich wegen [mm] $y=t^2+1 \ge [/mm] 1 > 0$ weglassen.)
Nun Resubstitution zunächst mit [mm] $y=t^2+1$ [/mm] und danach noch [mm] $t=e^x$ [/mm] resubstituieren (oder halt direkt [mm] $y=t^2+1=\left(e^x\right)^2+1$)
[/mm]
Ergebnis:
[mm] $I_2=\ln(\left(e^x\right)^2+1)$
[/mm]
Zu [mm] $I_1$:
[/mm]
[mm] $\int \frac{t^2}{t^2+1}dt=\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}dt=\int \frac{t^2+1}{t^2+1}-\frac{1}{t^2+1}dt=\int 1-\frac{1}{t^2+1}dt=\blue{t}-\arctan(t)$
[/mm]
Nun Resubstitution [mm] $t=e^x$:
[/mm]
[mm] $I_1=e^x-\arctan\left(e^x\right)$
[/mm]
Nun brauchst Du nur noch [mm] $I_1$ [/mm] und [mm] $I_2$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] einsetzen. Ist's nun klarer?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Di 15.04.2008 | | Autor: | Xamy |
ja danke, jetzt hab ich es glaub ich soweit verstanden.
ich denke auch, dass ich weiß was bei mir immer falsch gelaufen ist, ich hab immer das dt nicht beachtet.
vielen danke nochmal :)
liebe grüße
xamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo xamy,
> ja danke, jetzt hab ich es glaub ich soweit verstanden.
> ich denke auch, dass ich weiß was bei mir immer falsch
> gelaufen ist, ich hab immer das dt nicht beachtet.
ja, ich denke mal so:
Manchmal hast Du beim Integral gar keine Integrationsvariable mehr dabeigeschrieben, da ist's natürlich schwer, sich zu behalten, nach was denn nun integriert wird.
Wenn Du plötzlich mal irgendwo stehen hättest:
[mm] $\int [/mm] x^2y$, naja:
Ist das Integral nach $dx$ oder nach $dy$ oder gar noch was anderes gemeint?
Zum anderen:
Wenn Du mit $t=t(x)$ substituierst und Du setzt nur die $t$'s in [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ ein, dann stehen da plötzlich $t$'s bei der Funktion und man integriert weiterhin nach $x$. Das man $t$ bzgl. der Integrationsvariable $x$ nicht einfach als Konstante betrachten kann, steht oben, weil $t=t(x)$.
Also muss man noch irgendwie $dt$ ins Spiel bringen, und das geht über die Ableitung von $t$ nach $x$:
[mm] $t\,'(x)=\frac{dt}{dx}$
[/mm]
Also wichtig:
Bei der Substituition muss man sowohl $t=t(x)$ als auch [mm] $t\,'(x)=\frac{dt}{dx}$ [/mm] ins Spiel bringen, damit man auch nach der neuen Variablen $t$ integriert.
(Und dabei hoffen, dass sich alles "passend" vereinfacht. Es kann auch sein, dass man mit der Substitution gar nicht weiterkommt. Wenn man z.B. "ungünstig" substituiert; oder aber auch, wenn das Integral zu kompliziert ist...)
Gruß,
Marcel
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