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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral:
[mm] \integral_{0,5}^{4}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab hier ein kleines Problem bei dieser Aufgabe.
Ich rechne einfach mal vor:
[mm] \S_{n} [/mm] = [mm] h*f(x_{1})+ h*f(x_{2})+ [/mm] ... + [mm] h*f(x_{n})
[/mm]
= h* [ [mm] f(x_{1})+ f(x_{2})+ [/mm] ... + [mm] f(x_{n})]
[/mm]
= [mm] \bruch{3,5}{n} [/mm] *[ [mm] f(1*\bruch{3,5}{n})+f(2*\bruch{3,5}{n})+...+f(n*\bruch{3,5}{n})]
[/mm]
= [mm] \bruch{3,5}{n} [/mm] *[ [mm] f(1)*f(\bruch{3,5}{n})+f(2)*f(\bruch{3,5}{n})+...+f(n)*f(\bruch{3,5}{n})]
[/mm]
= [mm] \bruch{3,5}{n} [/mm] * [mm] f(\bruch{3,5}{n}) [/mm] * [ f(1)+f(2)+...+f(n) ]
= 1* [ 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
Die harmonische Reihe ist aber doch divergent...
Ich hoffe ihr könnt mir erklären, wo mein Fehler liegt.
Danke im Voraus.
Gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Michael!
Du kannst hier nicht [mm] $f\left(\bruch{3.5}{n}\right)$ [/mm] ausklammern, da nicht gilt:
[mm] $$f\left(k*\bruch{3.5}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] f(k)*f\left(\bruch{3.5}{n}\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
aber es gilt doch in diesem Fall:
[mm] f(k*\bruch{3,5}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{k*\bruch{3,5}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{3,5}{n}} [/mm] = f(k) * [mm] f(\bruch{3,5}{n})
[/mm]
Gruß Michael
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Hallo
> aber es gilt doch in diesem Fall:
>
> [mm]f(k*\bruch{3,5}{n})[/mm] = [mm]\bruch{1}{k*\bruch{3,5}{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\bruch{3,5}{n}}[/mm] = f(k) *
> [mm]f(\bruch{3,5}{n})[/mm]
das ist richtig.
Das Problm liegt davor. Du schreibst:
> Berechnen Sie das Integral:
>
> [mm]\integral_{0,5}^{4}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> [mm]\S_{n}[/mm] = [mm]h*f(x_{1})+ h*f(x_{2})+[/mm] ... + [mm]h*f(x_{n})[/mm]
>
> = h* [ [mm]f(x_{1})+ f(x_{2})+[/mm] ... + [mm]f(x_{n})][/mm]
>
> = [mm]\bruch{3,5}{n}[/mm] *[
> [mm]f(1*\bruch{3,5}{n})+f(2*\bruch{3,5}{n})+...+f(n*\bruch{3,5}{n})][/mm]
Letzteres stimmt nicht.
Du betrachtest doch die Stellen [mm] x_1=0.5+1*\bruch{3,5}{n}), x_2=0.5+2*\bruch{3,5}{n}), [/mm] ..., [mm] x_n=0.5+n*\bruch{3,5}{n})=4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Stimmt, da hast Du natürlich Recht, das hab ich übersehen.
Aber jetzt komm ich immer noch nicht so wirklich weiter...
Sn = [mm] \bruch{3,5}{n} [/mm] * [ [mm] f(0,5+1*\bruch{3,5}{n})+f(0,5+2*\bruch{3,5}{n})+...+f(0,5+n*\bruch{3,5}{n}) [/mm] ]
= [mm] \bruch{3,5}{n} [/mm] * [ [mm] \bruch{1}{0,5+1*\bruch{3,5}{n}}+\bruch{1}{0,5+2*\bruch{3,5}{n}}+...+\bruch{1}{0,5+n*\bruch{3,5}{n}} [/mm] ]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+1}+\bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+2}+...+\bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+n}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] n\to\infty [/mm] laufen lasse, bekomme ich doch wieder dasselbe Ergebnis wie am Anfang :(
Kann mir vllt jemand den richtigen Weg zeigen?
Danke für eure Hilfe.
Gruß Michael
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> = [mm]\bruch{3,5}{n}[/mm] * [
> [mm]\bruch{1}{0,5+1*\bruch{3,5}{n}}+\bruch{1}{0,5+2*\bruch{3,5}{n}}+...+\bruch{1}{0,5+n*\bruch{3,5}{n}}[/mm]
> ]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+1}+\bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+2}+...+\bruch{1}{\bruch{1,75}{n}+n}[/mm]
Hallo,
ich krieg da
...=[mm]\bruch{3.5}{0,5n+1*\bruch{3,5}{n}n}+\bruch{3.5}{0,5n+2*\bruch{3,5}{n}n}+...+\bruch{3.5}{0,5n+n*\bruch{3,5}{n}n}[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:30 Di 16.09.2008 | | Autor: | MathStudent1 |
Ja da hast Du natürlich Recht, aber mein Problem ist immer noch dasselbe wie am Anfang....Ich weiß nicht wie ich davon den Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] berechne...
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> Ja da hast Du natürlich Recht, aber mein Problem ist immer
> noch dasselbe wie am Anfang....Ich weiß nicht wie ich davon
> den Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm] berechne...
Hallo,
ich weiß zwar im Moment auch nicht, wie man an den Grenzwert kommt.
Was man weiß: der Ausdruck, der jetzt dasteht, geht nicht gegen [mm] \infty.
[/mm]
Wie war eigentlich die Aufgabenstellung? Hat man Dich gezwungen, mit der Obersumme zu arbeiten, oder warum machst Du das?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Michael!
Ich muss zugeben, dass auch ich keichte Zweifel daran habe, dass Du dieses Integral mittesl Ober- bzw. Untersumme lösen musst.
Schließlich muss hier in die Stammfunktion der natürlich Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] einkehren.
Und das genannte Integral hat am Ende den Wert [mm] $3*\ln(2) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.079$ .
Von daher vermute ich doch, dass dieses Integal auf anderem Weg gelöst werden kann / soll ...
Gruß vom
Roadrunner
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